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Écrivant donc

${\begin{aligned}&\mathrm {X} =e^{x}-e^{2x}=0\\&{\frac {d^{n}\mathrm {X} }{dx^{n}}}=e^{x}-2^{n}e^{2x}\\&{\frac {d^{n+1}\mathrm {X} }{dx^{n+1}}}=e^{x}-2^{n+1}e^{2x}\\&{\frac {d^{n+2}\mathrm {X} }{dx^{n+2}}}=e^{x}-2^{n+2}e^{2x},\end{aligned}}$

et posant l’équation ${\frac {d^{n+1}\mathrm {X} }{dx^{n+1}}}=0,$ ou $e^{x}-2^{n+1}.e^{2x}=0,$ on en tire la valeur de $e^{x}$ pour la substituer dans les deux valeurs de ${\frac {d^{n}\mathrm {X} }{dx^{n}}}$ et ${\frac {d^{n+2}\mathrm {X} }{dx^{n+2}}}.$ Par cette élimination, on trouve

${\frac {d^{n}\mathrm {X} }{dx^{n}}}=-2^{n}e^{2x},\qquad {\frac {d^{n+2}\mathrm {X} }{dx^{n+2}}}=-2^{n+1}.e^{2x},$

et l’on détermine la valeur du produit ${\frac {d^{n}\mathrm {X} }{dx^{n}}}.{\frac {d^{n+2}\mathrm {X} }{dx^{n+2}}},$ qui est $-2^{2n+1}.e^{4x}.$ L’auteur en conclut que toute racine réelle de l’équation intermédiaire ${\frac {d^{n+1}\mathrm {X} }{dx^{n}}},$ étant substituée dans l’équation qui précède et dans celle qui suit, donne deux résultats de signes contraires : c’est cette conclusion que l’on ne peut pas admettre. En effet, si la valeur réelle de $x$ qui rend nulle la fonction intermédiaire $e^{x}-2^{n+1}.e^{2x},$ réduit à zéro le facteur $e^{x}$ commun aux deux termes, cette même valeur de $x$ étant substituée dans la fonction qui précède, savoir $e^{x}-2^{n}.e^{2x},$ et dans celle qui suit, savoir $e^{x}-2^{n+2}.e^{2x},$ réduira l’une et l’autre à zéro. Les deux résultats ne sont donc point de signes différents, ils sont les mêmes. Pour que l’un des résultats fût positif et l’autre négatif, il faudrait ne considérer parmi les racines réelles de l’équation $e^{x}-2^{n+1}.e^{2x}=0,$