Il assure que, si l’on fait dans ce cas l’application littérale du théorème, on trouve que l’équation (1) et ses dérivées ont toutes leurs racines réelles ; et comme il est évident que cette équation a des racines imaginaires, l’auteur en conclut que la proposition conduirait ici à une conséquence erronée. Je me propose 1o de discuter cette objection spéciale, et de montrer qu’elle n’a pas de fondement ; 2o de prouver que le théorème dont il s’agit s’applique exactement à l’équation transcendante propre au cylindre.
En général, cette proposition, exprimée dans les termes dont je me suis servi, doit s’étendre aux équations transcendantes ; en sorte que l’on commettrait une erreur grave en restreignant le théorème aux équations algébriques.
Dans ce premier article, qui se rapporte à l’équation citée (1), je montrerai que le théorème n’indique nullement que cette équation (1) n’a point de racines imaginaires. Au contraire, il fait connaître qu’elle n’est pas du nombre de celles qui réunissent les conditions que le théorème suppose, et qui distinguent les équations dont toutes les racines sont réelles.
M. Poisson a présenté, pour la première fois, cette objection dans le 19Me cahier des Mémoires de l’École Polytechnique (page 382). Il ne citait point le théorème dont j’ai fait usage, mais une proposition très-différente, puisqu’il y omet une condition qui en est une partie nécessaire, et qu’il ne regardait point comme sous-entendue. La réfutation aurait donc été pour ainsi dire superflue : mais le même auteur a reproduit son objection plusieurs années après, et c’est alors seulement qu’il a cité la proposition dont il s’agit telle qu’on la trouve dans la Théorie de la chaleur (pages 372 et 373).
