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$\operatorname {F} z={\frac {\sin .z}{e^{\frac {\pi \alpha z}{x}}-e^{\frac {-\pi \alpha z}{x}}}},\qquad \operatorname {F} z={\frac {\cos ..z}{e^{\frac {\pi \alpha z}{x}}+e^{\frac {-\pi \alpha z}{x}}}},$

les équations (8) deviendront

$\left.{\begin{aligned}{\frac {k\mathrm {K} }{2\pi }}\sin .\mathrm {A} &\left({\frac {2x}{\pi }}\mathrm {K} ,k\right)=-{\frac {1}{2x}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin .zdz}{e^{\frac {\pi \alpha z}{x}}-e^{\frac {-\pi \alpha z}{x}}}}\\&+{\frac {1}{x}}\sum (-1)^{n}\int _{0}^{\infty }{\frac {\cos .{\frac {n\pi z}{x}}\sin .z}{e^{\frac {\pi \alpha z}{x}}-e^{\frac {-\pi \alpha z}{x}}}}dz,\\{\frac {k\mathrm {K} }{2\pi }}\cos .\mathrm {A} &\left({\frac {2x}{\pi }}\mathrm {K} ,k\right)=-{\frac {1}{2x}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\cos .zdz}{e^{\frac {\pi \alpha z}{x}}+e^{\frac {-\pi \alpha z}{x}}}}\\&+{\frac {1}{x}}\sum (-1)^{n}\int _{0}^{\infty }{\frac {\cos .{\frac {n\pi z}{x}}\cos .z}{e^{\frac {\pi \alpha z}{x}}+e^{\frac {-\pi \alpha z}{x}}}}dz.\end{aligned}}\right\}$

(9)

Soit maintenant

${\frac {az}{x}}=t,\qquad dz={\frac {xdt}{\alpha }}\,;$

les limites des intégrales relatives à $t$ seront toujours zéro et l’infini ; au moyen des formules connues

${\begin{aligned}4\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin .2\theta t}{e^{\pi t}-e^{-\pi t}}}dt=&{\frac {e^{\theta }-e^{-\theta }}{e^{\theta }+e^{-\theta }}},\\2\int _{0}^{\infty }{\frac {\cos .2\theta t}{e^{\pi t}+e^{-\pi t}}}dt=&{\frac {1}{e^{\theta }+e^{-\theta }}},\end{aligned}}$

dans lesquelles 6 est une constante quelconque, on obtiendra les valeurs des intégrales que contiennent les équations (9) ; et en les substituant dans ces équations, elles se changeront