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cune des équations (5) et (7) demeurera la même, de sorte que les changements dont il s’agit ne fourniront pas d’autres formules, de la nature de ces équations.

En développant les fonctions trigonométriques de l’amplitude, en séries ordonnées suivant les sinus et cosinus des multiples de la fonction elliptique, M. Jacobi a aussi trouvé ces deux formules :

$\left.{\begin{aligned}{\frac {k\mathrm {K} }{2\pi }}\sin .\mathrm {A} \left({\frac {2x}{\pi }}\mathrm {K} ,k\right)=&\sum {\frac {\sin .(2n+1)x}{e^{(2n+1)\pi \alpha }-e^{-(2n+1)\pi \alpha }}},\\{\frac {k\mathrm {K} }{2\pi }}\cos .\mathrm {A} \left({\frac {2x}{\pi }}\mathrm {K} ,k\right)=&\sum {\frac {\cos ..(2n+1)x}{e^{(2n+1)\pi \alpha }+e^{-(2n+1)\pi \alpha }}},\end{aligned}}\right\}$

(8)

dans lesquelles on a fait

$\mathrm {\frac {K'}{2K}} =\alpha ,$

et qui s’accordent avec celles qu’on trouve à la fin du premier Mémoire d’Abel, cité dans ce rapport. On peut les changer en des séries d’exponentielles par le moyen suivant.

Quelle que soit la fonction $\operatorname {F}$ et la quantité $l,$ on a^[1]

$\sum \operatorname {F} (2n+1)l=-{\frac {1}{2l}}\int _{0}^{\infty }\operatorname {F} zdz+{\frac {1}{l}}\sum (-1)^{n}\int _{0}^{\infty }\cos .{\frac {n\pi z}{l}}\operatorname {F} zdz\,;$

les sommes $\sum$ s’étendant, comme dans les formules précédentes, à toutes les valeurs positives du nombre $n,$ depuis et compris $n=0$ jusqu’à $n=\infty .$ Si donc nous faisons $l=x,$ et successivement

1. On obtient cette équation en faisant $x=0$ dans celle de la pag. 451 du 19^e cahier du Journal de l’École polytechnique.