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${\begin{aligned}\sum &e^{-(2n+1)^{2}r^{2}}\cos .(2n+1)x\\&={\frac {r'}{\sqrt {\pi }}}e^{\frac {-z^{2}}{4r'^{2}}}\left(\sum (-1)^{n}e^{-4n^{2}r'^{2}}\left(e^{2nz}+e^{-2nz}\right)-1\right),\end{aligned}}$

(6)

${\begin{aligned}\sum &(-1)^{n}e^{-(2n+1)^{2}r^{2}}\sin .(2n+1)x=\\&={\frac {r'}{\sqrt {\pi }}}e^{\frac {z^{2}}{4r'^{2}}}\left(\sum (-1)^{n}e^{-(2n+1)^{2}r'^{2}}\left(e^{(2n+1)z}-e^{-(2n+1)z}\right)\right)\,;\end{aligned}}$

(7)

au moyen desquelles et des deux équations précédentes, les formules (1) deviendront

${\begin{aligned}&{\sqrt {k}}\sin .\mathrm {A} \left({\frac {2z}{\pi }}\mathrm {K} ',k\right)={\frac {\sum (-1)^{n}e^{-(2n+1)^{2}r'^{2}}\left(e^{(2n+1)z}-e^{-(2n+1)z}\right)}{\sum e^{-(2n+1)^{2}r'^{2}}\left(e^{(2n+1)z}+e^{-(2n+1)z}\right)}},\\&{\sqrt {\frac {k}{k'}}}\cos .\mathrm {A} \left({\frac {2z}{\pi }}\mathrm {K} ',k\right)={\frac {\sum (-1)^{n}e^{-4n^{2}r'^{2}}\left(e^{2nz}+e^{-2nz}\right)-1}{\sum e^{-(2n+1)^{2}r'^{2}}\left(e^{(2n+1)z}+e^{-(2n+1)z}\right)}},\\&{\sqrt {\frac {1}{k'}}}{\sqrt {1-k^{2}\sin .^{2}\mathrm {A} \left({\frac {2z}{\pi }}\mathrm {K} ',k\right)}}={\frac {\sum e^{-4n^{2}r'^{2}}\left(e^{2nz}+e^{-2nz}\right)-1}{\sum e^{-(2n+1)^{2}r'^{2}}\left(e^{(2n+1)z}+e^{-(2n+1)z}\right)}},\end{aligned}}$

ce qui n’est autre chose que les équations (2) dans lesquelles on a mis $k$ à la place de $k',$ et par conséquent $k',\mathrm {K} ',r',$ au lieu de $k,\mathrm {K} ,r.$

On peut remarquer qu’en opérant les mêmes changements dans les équations (4), (5), (6) et (7), et mettant en outre $x{\sqrt {-1}}$ à la place de $z,$ il faudra mettre $z{\sqrt {-1}}$ au lieu de $x,$ puisque cette variable était égale à $\mathrm {\frac {K'}{K}} z,$ qui devient $\mathrm {\frac {K}{K'}} x{\sqrt {-1}},$ ou $z{\sqrt {-1}}.$ De cette manière les équations (4) et (6) se changeront réciproquement l’une dans l’autre, et cha-