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(6)
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(7)
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au moyen desquelles et des deux équations précédentes, les formules (1) deviendront
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\sqrt {k}}\sin .\mathrm {A} \left({\frac {2z}{\pi }}\mathrm {K} ',k\right)={\frac {\sum (-1)^{n}e^{-(2n+1)^{2}r'^{2}}\left(e^{(2n+1)z}-e^{-(2n+1)z}\right)}{\sum e^{-(2n+1)^{2}r'^{2}}\left(e^{(2n+1)z}+e^{-(2n+1)z}\right)}},\\&{\sqrt {\frac {k}{k'}}}\cos .\mathrm {A} \left({\frac {2z}{\pi }}\mathrm {K} ',k\right)={\frac {\sum (-1)^{n}e^{-4n^{2}r'^{2}}\left(e^{2nz}+e^{-2nz}\right)-1}{\sum e^{-(2n+1)^{2}r'^{2}}\left(e^{(2n+1)z}+e^{-(2n+1)z}\right)}},\\&{\sqrt {\frac {1}{k'}}}{\sqrt {1-k^{2}\sin .^{2}\mathrm {A} \left({\frac {2z}{\pi }}\mathrm {K} ',k\right)}}={\frac {\sum e^{-4n^{2}r'^{2}}\left(e^{2nz}+e^{-2nz}\right)-1}{\sum e^{-(2n+1)^{2}r'^{2}}\left(e^{(2n+1)z}+e^{-(2n+1)z}\right)}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eef4df25e4004daf49d9c38204beb976907200a7)
ce qui n’est autre chose que les équations (2) dans lesquelles on a mis
à la place de
et par conséquent
au lieu de ![{\displaystyle k,\mathrm {K} ,r.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c246f5c5529c9a2e14b685152d59322e35604d10)
On peut remarquer qu’en opérant les mêmes changements dans les équations (4), (5), (6) et (7), et mettant en outre
à la place de
il faudra mettre
au lieu de
puisque cette variable était égale à
qui devient
ou
De cette manière les équations (4) et (6) se changeront réciproquement l’une dans l’autre, et cha-