![{\displaystyle \int {\frac {\gamma du}{\gamma ^{2}+4u^{2}}}={\frac {1}{2}}\pi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2bccc2200604f1154ab973974e1babcfd890273)
Je conclus de là que pour
l’équation (3) deviendra
![{\displaystyle 2\sum (-1)^{n}e^{-4n^{2}r^{2}}\cos .2nx-1=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d8ce33d1bd78ce669b2fc73d210e1a937fd334a)
![{\displaystyle {\frac {\sqrt {\pi }}{4r}}e^{\frac {-x^{2}}{4r^{2}}}\sum e^{\frac {-(2i+1)^{2}\pi ^{2}}{16r^{2}}}\left(e^{\frac {(2i+1)\pi x}{4r^{2}}}+e^{\frac {-(2i+1)\pi x}{4r^{2}}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43d99506bf48ab28ff8163aa2ef9bf2c8970a4c8)
en négligeant
dans son premier membre.
Si nous faisons
![{\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{16r^{2}}}=\mathrm {\frac {\pi K}{4K'}} =r'^{2},\qquad x=\mathrm {\frac {K'}{K}} z={\frac {4r^{2}}{\pi }}z,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3a1588d188cf9bf43c9a7d5c718fa6899416f7a)
cette équation pourra s’écrire ainsi :
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(4)
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la somme
ne s’étendant dans le second membre comme dans le premier, qu’aux valeurs positives du nombre
puis
jusqu’à
Pour
on trouvera de même que l’équation (3) devient
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(5)
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et par une semblable analyse, on obtiendra ces deux autres équations :