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$\int {\frac {\gamma du}{\gamma ^{2}+4u^{2}}}={\frac {1}{2}}\pi .$

Je conclus de là que pour $\beta =-1+\gamma ,$ l’équation (3) deviendra

$2\sum (-1)^{n}e^{-4n^{2}r^{2}}\cos .2nx-1=$

${\frac {\sqrt {\pi }}{4r}}e^{\frac {-x^{2}}{4r^{2}}}\sum e^{\frac {-(2i+1)^{2}\pi ^{2}}{16r^{2}}}\left(e^{\frac {(2i+1)\pi x}{4r^{2}}}+e^{\frac {-(2i+1)\pi x}{4r^{2}}}\right),$

en négligeant $\gamma$ dans son premier membre.

Si nous faisons

${\frac {\pi ^{2}}{16r^{2}}}=\mathrm {\frac {\pi K}{4K'}} =r'^{2},\qquad x=\mathrm {\frac {K'}{K}} z={\frac {4r^{2}}{\pi }}z,$

cette équation pourra s’écrire ainsi :

${\begin{aligned}2\sum &(-1)^{n}e^{-4n^{2}r^{2}}\cos .2nx-1\\&={\frac {2r'}{\sqrt {\pi }}}e^{\frac {-z^{2}}{4r'^{2}}}\sum e^{-(2n+1)^{2}r'^{2}}\left(e^{(2n+1)z}+e^{-(2n+1)z}\right)\,;\end{aligned}}$

(4)

la somme $\sum$ ne s’étendant dans le second membre comme dans le premier, qu’aux valeurs positives du nombre $n$ puis $n=0$ jusqu’à $n=\infty .$ Pour $\beta =1-\gamma ,$ on trouvera de même que l’équation (3) devient

${\begin{aligned}2\sum &e^{-4n^{2}r^{2}}\cos .2nx-1=\\&{\frac {2r'}{\sqrt {\pi }}}e^{\frac {-z^{2}}{4r'^{2}}}\left(\sum e^{-n^{2}r'^{2}}\left(e^{2nz}+e^{-2nz}\right)-1\right)\,;\end{aligned}}$

(5)

et par une semblable analyse, on obtiendra ces deux autres équations :