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en faisant, pour abréger,

$fx=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\left(1-\beta ^{2}\right)e^{-\alpha ^{2}}d\alpha }{1-2\beta \cos .2(2r\alpha +x)+\beta ^{2}}}.$

Maintenant, soit $\beta =-1+\gamma ,$ $\gamma$ étant une quantitité positive et infiniment petite. L’expression de $fx$ se réduira d’abord à

$fx=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\gamma e^{-\alpha ^{2}}d\alpha }{\gamma ^{2}+4\cos .^{2}(2r\alpha +x)}}.$

De plus, le coefficient de $d\alpha$ sous le signe $\int$ étant infiniment petit, excepté pour les valeurs de $\alpha$ qui rendent $\cos .(2r\alpha +x)$ infiniment petit, on pourra r’étendre l’intégration qu’à ces valeurs ; en désignant donc par $i$ un nombre entier, positif, négatif ou zéro, et faisant

$2\alpha r+x={\frac {2i+1}{2}}\pi +u,\qquad d\alpha ={\frac {du}{2r}},$

on pourra considérer la variable $u$ comme une quantité infiniment petite, positive ou négative. D’après cela nous aurons

$fx={\frac {1}{2r}}e^{\frac {-x^{2}}{4r^{2}}}\sum e^{\frac {-(2i+1)^{2}\pi ^{2}}{16r^{2}}}e^{\frac {(2i+1)^{2}\pi x}{4r^{2}}}\int {\frac {\gamma du}{\gamma ^{2}+4u^{2}}}\,;$

la somme $\sum$ s’étendant à toutes les valeurs de $i,$ et les limites de l’intégrale, l’une positive et l’autre négative, étant toutes deux infiniment petites. Mais à cause que cette intégrale est aussi infiniment petite, dès que $u$ a acquis une grandeur finie, on n’en altèrera pas la valeur en l’étendant à des limites finies, ni même en la prenant, si l’on veut, depuis $u=-\infty$ jusqu’à $u=\infty ,$ ce qui donne