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Note D.

Parmi les développements en séries que M. Jacobi a obtenus, nous citerons ces trois formules :

$\left.{\begin{aligned}&{\sqrt {k}}\sin .\mathrm {A} \left({\frac {2x}{\pi }}\mathrm {K} ,k\right)={\frac {2\sum (-1)^{n}e^{-(2n+1)^{2}r^{2}}\sin .(2n+1)x}{2\sum (-1)^{n}e^{-4n^{2}r^{2}}\cos .2nx-1}},\\&{\sqrt {\frac {k}{k'}}}\cos .\mathrm {A} \left({\frac {2x}{\pi }}\mathrm {K} ,k\right)={\frac {2\sum e^{-(2n+1)^{2}r^{2}}\cos .(2n+1)x}{2\sum (-1)^{n}e^{-4n^{2}r^{2}}\cos .2nx-1}},\\&{\sqrt {\frac {1}{k'}}}{\sqrt {1-k^{2}\sin .^{2}\mathrm {A} \left({\frac {2x}{\pi }}\mathrm {K} ,k\right)}}={\frac {2\sum e^{-4n^{2}r^{2}}\cos .2nx-1}{2\sum (-1)^{n}e^{-4n^{2}r^{2}}\cos .2nx-1}},\end{aligned}}\right\}$

(1)

dans lesquelles $n$ est un nombre entier positif ou zéro, les sommes $\sum$ s’étendent à toutes les valeurs de $n$ depuis jusqu’à $n=\infty ,$ $e$ désigne la base des logarithmes népériens, les autres notations sont les mêmes que dans les notes précédentes, et l’on a fait

$\mathrm {\frac {\pi K'}{4K}} =r^{2}.$

La variable $x$ peut être réelle ou imaginaire. Si l’on fait $x=z{\sqrt {-1}},$ on aura, comme précédemment,

$\sin .\mathrm {A} \left({\frac {2z}{\pi }}\mathrm {K} {\sqrt {-1}},k\right)={\sqrt {-1}}\operatorname {tang} .\mathrm {A} \left({\frac {2z}{\pi }}\mathrm {K} ,k'\right),$

et par conséquent

$\cos .\mathrm {A} \left({\frac {2z}{\pi }}\mathrm {K} {\sqrt {-1}},k\right)={\frac {1}{\cos .\mathrm {A} \left({\frac {2z}{\pi }}\mathrm {K} ,k'\right)}},$

${\sqrt {1-k^{2}\sin .^{2}\mathrm {A} \left({\frac {2z}{\pi }}\mathrm {K} {\sqrt {-1}},k\right)}}={\frac {\sqrt {1-k'^{2}\sin .^{2}\mathrm {A} \left({\frac {2z}{\pi }}\mathrm {K} ,k'\right)}}{\cos .\mathrm {A} \left({\frac {2z}{\pi }}\mathrm {K} ,k'\right)}}.$