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et du multiplicateur $\lambda \,;$ ainsi l’on satisfera à l’équation

$\operatorname {F} (h,\psi )={\frac {1}{p\mu }}\operatorname {F} (k,\omega ),$

au moyen de la formule

$\sin .\omega =p\mu \sin .\psi \Pi \left({\frac {1+\sin .^{2}\psi \operatorname {tang} .^{2}\mathrm {A} \left({\frac {2m}{p}}\mathrm {H} ',h'\right)}{1+h^{2}\sin .^{2}\psi \cot .^{2}\mathrm {A} \left({\frac {2m}{p}}\mathrm {H} ',h'\right)}}\right),$

et simultanément à l’équation

$\operatorname {F} (k,\varphi )=\mu \operatorname {F} (h,\psi ),$

au moyen de la première formule (3), savoir :

$\sin .\psi ={\frac {\sin .\varphi }{\mu }}\Pi \left({\frac {1-{\frac {\sin .^{2}\varphi }{\sin .^{2}\mathrm {A} \left({\frac {2m}{p}}\mathrm {K} ,k\right)}}}{1-k^{2}\sin .^{2}\varphi \sin .^{2}\mathrm {A} \left({\frac {2m}{p}}\mathrm {K} ,k\right)}}\right).$

Si donc on substitue cette valeur de $\sin .\psi$ dans celle de $\sin .\omega$ et qu’on élimine $\operatorname {F} (h,\psi )$ entre les deux autres équations, on aura une valeur de $\sin .\omega$ en fonction rationnelle de $\sin .\varphi ,$ qui satisfera à l’équation

$\operatorname {F} (k,\omega )=p\operatorname {F} (k,\varphi ).$

Ce sera le sinus de l’amplitude d’un multiple impair quelconque de la fonction donnée ; mais cette expression renfermera les quantités irrationnelles $\sin .\mathrm {A} \left({\frac {2m}{p}}\mathrm {H} ',h'\right)$ et $\sin .\mathrm {A} \left({\frac {2m}{p}}\mathrm {K} ,k\right)$ qui sont étrangères à la question ; et pour chaque valeur particulière de $p,$ elle devra se réduire à une fonction rationnelle, non-seulement par rapport au sinus de