aussi les combiner avec les formules de Lagrange citées au commencement de ce rapport, lesquelles sont censées répondre à
il en résultera un nombre extrêmement grand de transformations réelles de la fonction elliptique de première espèce, lors même qu’on ne prendra pour
que des nombres peu considérables.
On peut les multiplier encore en observant que si l’on a trouvé une équation entre
et
qui satisfasse à l’équation différentielle
![{\displaystyle {\frac {dx}{\sqrt {\left(1-x^{2}\right)\left(1-k^{2}x^{2}\right)}}}={\frac {\mu dy}{\sqrt {\left(1-y^{2}\right)\left(1-h^{2}y^{2}\right)}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f26910ffafda7aa330c251a36121a43033c9731)
on y satisfera aussi en mettant dans l’équation donnée,
et
à la place de
et
et déterminant les constantes
de manière que l’équation différentielle reste la même ; ce qui exige qu’on ait identiquement
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\left[(1+x)^{2}-(a+bx)^{2}\right]\left[(1+x)^{2}-k^{2}(a+bx)^{2}\right]=\left(1-x^{2}\right)\left(1-k^{2}x^{2}\right),\\&\left[(1+y)^{2}-(a'+b'y)^{2}\right]\left[(1+y)^{2}-(a'+b'y)^{2}\right]=\left(1-y^{2}\right)\left(1-h^{2}y^{2}\right),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6683773e3db4d62d282bf342c43147d4995f97a)
et pourra se faire de plusieurs manières différentes.
Note C.
Mettons dans les formules (4) de la note précédente, à la place de
et
l’angle
et le module
qui entrent dans les formules (3) : d’après ce qu’on vient de dire, il faudra en même temps mettre
et
à la place du module