Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 10.djvu/333

Après qu’on aura changé l’équation $\operatorname {F} (k,\varphi )=\mu \operatorname {F} (h,\psi )$ en $\operatorname {F} (k',\theta )=\mu \operatorname {F} (h',\omega )$ par la substitution de ${\sqrt {-1}}\operatorname {tang} .\theta$ et ${\sqrt {-1}}\operatorname {tang} .\omega$ à la place de $\sin .\varphi$ et $\sin .\psi ,$ si l’on y substitue $k'$ au lieu de $k,$ on aura $\mu =\lambda ,$ $h=g',$ $h'=g,$ en vertu des deux dernières équations (3) et des formules (6) et (7). Il en résultera donc $\operatorname {F} (k,\theta )=\lambda \operatorname {F} (g,\omega )\,;$ par conséquent chacune des trois premières équations (3) satisfera à celle-ci, après les substitutions qu’on a supposées ; mais cette solution de l’équation $\operatorname {F} (k,\theta )=\lambda \operatorname {F} (g,\omega ),$ coïncide avec celle qui est donnée par les équations (4). En effet, les substitutions étant effectuées, si l’on divise membre à membre la première équation (3) par la seconde, il vient

$\sin .\omega ={\frac {\sin .\theta }{\lambda }}\Pi \left({\frac {1+\sin .^{2}\theta \cot .^{2}\mathrm {A} \left({\frac {2m}{p}}\mathrm {K} ',k'\right)}{1+\sin .^{2}\theta \cot .^{2}\mathrm {A} \left({\frac {p-2m}{p}}\mathrm {K} ',k'\right)}}\right)\,;$

mais en vertu de l’équation (5), on a

$\cot .^{2}\mathrm {A} \left({\frac {p-2m}{p}}\mathrm {K} ',k'\right)=k^{2}\operatorname {tang} .^{2}\mathrm {A} \left({\frac {2m}{p}}\mathrm {K} ',k'\right)\,;$

ce qui fait coïncider la formule précédente avec la première équation (4). En divisant membre à membre, la première équation (3) par la troisième, et en renversant les deux membres de celle-ci, après les substitutions indiquées, on obtiendra de même la troisième et la seconde équation (4). Réciproquement les formules (4) se changeront dans les équations (3), par les substitutions de ${\sqrt {-1}}\operatorname {tang} .\varphi ,$ ${\sqrt {-1}}\operatorname {tang} .\psi ,$ $k'$ et $h',$ au lieu de $\sin .\theta ,\sin .\omega ,k$ et $g.$

On peut combiner ensemble les formules (3) et (4), relatives à différentes valeurs impaires du nombre $p\,;$ on peut