Si l’on fait croître
depuis zéro jusqu’à
l’angle
croîtra en même temps ; mais la première équation (3) montre que
passera par zéro, un nombre
de fois, et changera de signe à chaque passage ; d’où il résulte qu’on aura
en même temps que
et par conséquent
en même temps que
Il en résultera donc
![{\displaystyle \mathrm {K} =\mu p\mathrm {H} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/839dac6385e18c25b0b364032298e00094a0ec1a)
D’un autre côté, si l’on fait
![{\displaystyle \sin .\varphi ={\sqrt {-1}}.\operatorname {tang} .\theta ,\qquad \sin .\psi ={\sqrt {-1}}.\operatorname {tang} .\omega .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1683158ce8633e3c3279b7db79eeac05c184605b)
les équations correspondantes
![{\displaystyle {\frac {d\varphi }{\sqrt {1-k^{2}\sin .^{2}\varphi }}}={\frac {\mu d\psi }{\sqrt {1-h^{2}\sin .^{2}\psi }}},\qquad \operatorname {F} (k,\varphi )=\mu \operatorname {F} (h,\psi ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8e8ecc06ce7741d6be56d1e1eaac49aca456a88)
se changeront en celles-ci :
![{\displaystyle {\frac {d\theta }{\sqrt {1-k'^{2}\sin .^{2}\theta }}}={\frac {\mu d\omega }{\sqrt {1-h'^{2}\sin .^{2}\omega }}},\qquad \operatorname {F} (k',\theta )=\mu \operatorname {F} (h',\omega ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a0b14af4c296080efdda00b357571846a69b5db)
Par les mêmes substitutions, la première équation (3) prendra la forme
![{\displaystyle \operatorname {tang} .\omega =\mathrm {P} \operatorname {tang} .\theta \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8268fec4d6039e88bfbea7f1cc53657f97e092b4)
étant une quantité positive qui ne pourra être ni nulle ni infinie, pour aucune valeur réelle de
les nouvelles variables
et
atteindront donc ensemble l’angle droit ; il en résultera
![{\displaystyle \mathrm {K} '=\mu \mathrm {H} '\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76b6f5e055553c76ac7a4e2aae1b86f883745653)
et en éliminant
entre cette équation et
on aura
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