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Si l’on fait croître $\varphi$ depuis zéro jusqu’à $\pi ,$ l’angle $\psi$ croîtra en même temps ; mais la première équation (3) montre que $\sin .\psi$ passera par zéro, un nombre $p$ de fois, et changera de signe à chaque passage ; d’où il résulte qu’on aura $\psi =p\pi$ en même temps que $\varphi =\pi ,$ et par conséquent $\operatorname {F} (h,\psi )=2p\mathrm {H}$ en même temps que $\operatorname {F} (k,\varphi )=2\mathrm {K} .$ Il en résultera donc

$\mathrm {K} =\mu p\mathrm {H} .$

D’un autre côté, si l’on fait

$\sin .\varphi ={\sqrt {-1}}.\operatorname {tang} .\theta ,\qquad \sin .\psi ={\sqrt {-1}}.\operatorname {tang} .\omega .$

les équations correspondantes

${\frac {d\varphi }{\sqrt {1-k^{2}\sin .^{2}\varphi }}}={\frac {\mu d\psi }{\sqrt {1-h^{2}\sin .^{2}\psi }}},\qquad \operatorname {F} (k,\varphi )=\mu \operatorname {F} (h,\psi ),$

se changeront en celles-ci :

${\frac {d\theta }{\sqrt {1-k'^{2}\sin .^{2}\theta }}}={\frac {\mu d\omega }{\sqrt {1-h'^{2}\sin .^{2}\omega }}},\qquad \operatorname {F} (k',\theta )=\mu \operatorname {F} (h',\omega ).$

Par les mêmes substitutions, la première équation (3) prendra la forme

$\operatorname {tang} .\omega =\mathrm {P} \operatorname {tang} .\theta \,;$

$\mathrm {P}$ étant une quantité positive qui ne pourra être ni nulle ni infinie, pour aucune valeur réelle de $\theta \,:$ les nouvelles variables $\theta$ et $\omega$ atteindront donc ensemble l’angle droit ; il en résultera

$\mathrm {K} '=\mu \mathrm {H} '\,;$

et en éliminant $\mu$ entre cette équation et $\mathrm {K} =\mu p\mathrm {H} ,$ on aura

$\mathrm {\frac {K}{K'}} =p\mathrm {\frac {H}{H'}} ,$

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