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${\frac {\cos .^{2}\mathrm {A} \left({\frac {2m}{p}}\mathrm {K} ',k'\right)}{1-k'^{2}\sin .^{2}\mathrm {A} \left({\frac {2m}{p}}\mathrm {K} ',k'\right)}}=\sin .^{2}\mathrm {A} \left({\frac {p-2m}{p}}\mathrm {K} ',k'\right)\,;$

(5)

on aura donc plus simplement

$\lambda =\Pi \left({\frac {\sin .^{2}\mathrm {A} \left({\frac {p-2m}{p}}\mathrm {K} ',k'\right)}{\sin .^{2}\mathrm {A} \left({\frac {2m}{p}}\mathrm {K} ',k'\right)}}\right).$

(6)

Si l’on observe qu’en vertu de la seconde équation (4), $\omega$ et $\theta$ atteignent ensemble l’angle droit, et qu’on fasse $\theta ={\frac {1}{1}}\pi$ et $\omega ={\frac {1}{2}}\pi$ dans la troisième, on en conclura

$g'=k'^{p}\Pi \left({\frac {\cos .^{4}\mathrm {A} \left({\frac {2m}{p}}\mathrm {K} ',k'\right)}{1-k^{2}\sin .^{2}\mathrm {A} \left({\frac {2m}{p}}\mathrm {K} ',k'\right)}}\right),$

ou, ce qui est la même chose,

$g'=k'^{p}\Pi \sin .^{4}\mathrm {A} \left({\frac {p-2m}{p}}\mathrm {K} ',k'\right).$

(7)

Cette dernière équation montre qu’on aura $g'<k',$ ou $g>k\,;$ par conséquent l’échelle de modules à laquelle elle donnera naissance, sera ascendante et aura l’unité pour limite. Pour des valeurs données de $k$ et du nombre $p,$ les deux racines réelles de l’équation $\mathrm {M} =0,$ seront les modules de cette échelle et de la précédente qui suivent immédiatement le module $k.$ On pourra remplacer cette équation algébrique entre deux modules consécutifs de l’une ou de l’autre échelle, par une équation trancendante à laquelle on parviendra comme il suit.