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on formera, pour chaque valeur du nombre $p,$ une échelle descendante de modules dont zéro sera la limite.

En employant de même la seconde valeur de $\sin .\alpha _{1},$ et par conséquent les formules (1) et (2) ; désignant par $\lambda$ et $g$ ce que $\mu$ et $h$ deviennent ; et mettant d’autres angles $\theta$ et $\omega$ à la place de $\varphi$ et $\psi ,$ on satisfera à l’équation

$\operatorname {F} (k,\theta )=\lambda \operatorname {F} (g,\omega ),$

au moyen des formules :

$\left.{\begin{aligned}\sin .\omega &={\frac {\sin .\theta }{\lambda \Theta }}\Pi \left(1+\sin .^{2}\theta \cot .^{2}\mathrm {A} \left({\frac {2m}{p}}\mathrm {K} ',k'\right)\right),\\\cos .\omega &={\frac {\cos .\theta }{\Theta }}\Pi \left(\cos .^{2}\theta +k'^{2}\sin .^{2}\theta \sin .^{2}\mathrm {A} \left({\frac {2m}{p}}\mathrm {K} ',k'\right)\right),\\{\sqrt {1-g^{2}\sin .^{2}\omega }}&={\frac {\sqrt {1-k^{2}\sin .^{2}\theta }}{\Theta }}\Pi \left(1-{\frac {k^{2}\sin .^{2}\theta }{1-k'^{2}\sin .^{2}\mathrm {A} \left({\frac {2m}{p}}\mathrm {K} ',k'\right)}}\right),\\\Theta &=\Pi \left(1+k^{2}\sin .^{2}\theta \operatorname {tang} .^{2}\mathrm {A} \left({\frac {2m}{p}}\mathrm {K} ',k'\right)\right),\\\lambda &=(-1)^{{\frac {1}{2}}(p-1)}\Pi \left({\frac {\cot .^{2}\mathrm {A} \left({\frac {2m}{p}}\mathrm {K} ',k'\right)}{1-k'^{2}\sin .^{2}\mathrm {A} \left({\frac {p}{2m}}\mathrm {K} ',k'\right)}}\right),\\g&=k^{p}\Pi {\frac {\sin .^{4}\mathrm {A} \left({\frac {p-2m}{p}}\mathrm {K} ',k'\right)}{\cos .^{4}\mathrm {A} \left({\frac {2m}{p}}\mathrm {K} ',k'\right)}}.\end{aligned}}\right\}$

(4)

On peut rendre le multiplicateur $\mu$ toujours positif, en supprimant le facteur $(-1)^{{\frac {1}{2}}(p-1)}\,;$ ce qui est permis, pourvu qu’on suppose en même temps l’angle $\omega$ toujours croissant avec l’angle $\theta .$ En mettant $k'$ à la place de $k$ dans l’équation (10) de la note précédente, on a d’ailleurs