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${\frac {p-1}{2}}$ facteurs que l’on obtient en prenant successivement pour $m$ tous les nombres $1,2,3,\ldots {\frac {1}{2}}(p-1),$ de sorte que l’on ait

$\Pi \mathrm {R} _{m}=\mathrm {R_{1}R_{2}R_{3}} \ldots \mathrm {R} _{{\frac {1}{2}}(p-1)},$

$\mathrm {R} _{m}$ étant une fonction quelconque de $m.$

Cela posé, si l’on fait usage de la première valeur de $\sin .\alpha _{1},$ on satisfait à l’équation

$\operatorname {F} (k,\varphi )=\mu \operatorname {F} (h,\psi ),$

au moyen des formules :

$\left.{\begin{aligned}\sin .\psi &={\frac {\sin .\varphi }{\mu \Phi }}\Pi \left(1-{\frac {\sin .^{2}\varphi }{\sin .^{2}\mathrm {A} \left({\frac {2m}{p}}\mathrm {K} ,k\right)}}\right),\\\cos .\psi &={\frac {\cos .\varphi }{\Phi }}\Pi \left(1-{\frac {\sin .^{2}\varphi }{\sin .^{2}\mathrm {A} \left({\frac {p-2m}{p}}\mathrm {K} ,k\right)}}\right),\\{\sqrt {1-k^{2}\sin .^{2}\psi }}&={\frac {\sqrt {1-k^{2}\sin .^{2}\varphi }}{\Phi }}\Pi \left(1-k^{2}\sin .^{2}\varphi \sin .^{2}\mathrm {A} \left({\frac {p-2m}{p}}\mathrm {K} ,k\right)\right),\\\Phi &=\Pi \left(1-k^{2}\sin .^{2}\varphi \sin .^{2}\mathrm {A} \left({\frac {2m}{p}}\mathrm {K} ,k\right)\right),\\\mu &=\Pi \left({\frac {\sin .^{2}\mathrm {A} \left({\frac {p-2m}{p}}\mathrm {K} ,k\right)}{\sin .^{2}\mathrm {A} \left({\frac {2m}{p}}\mathrm {K} ,k\right)}}\right),\\h&=k^{p}\Pi \sin .^{4}\mathrm {A} \left({\frac {p-2m}{p}}\mathrm {K} ,k\right).\end{aligned}}\right\}$

(3)

Le module $k$ étant plus petit que l’unité, on aura $h<k\,;$ si donc on calcule un troisième module qui dépende de $h,$ comme $h$ dépend de $k,$ puis un quatrième, et ainsi de suite,