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${\frac {d\varphi }{\sqrt {1-k^{2}\sin .^{2}\varphi }}}={\frac {d\theta {\sqrt {-1}}}{\sqrt {1-k^{2}\sin .^{2}\theta }}}\,;$

dans cette hypothèse, on a donc

$\operatorname {F} (k,\varphi )={\sqrt {-1}}\operatorname {F} (k',\theta ),\quad {\text{ou}}\quad z=z'{\sqrt {-1}},$

en appelant $z'$ la nouvelle fonction. Il en résultera

$\sin .\mathrm {A} (z,k)=\sin .\mathrm {A} (z'{\sqrt {-1}},k')={\sqrt {-1}}\operatorname {tang} .\mathrm {A} (z',k'),$

et par conséquent

$\sin .^{2}\alpha _{2m}=\operatorname {tang} .^{2}\mathrm {A} \left({\frac {2m}{p}}\mathrm {K} ',k'\right).$

(1)

Pour un indice impair, on aura, en même temps

$\sin .^{2}\alpha _{p-2m}={\frac {1}{1-k'^{2}\sin .^{2}\mathrm {A} \left({\frac {2m}{p}}\mathrm {K} ',k'\right)}},$

en vertu de l’équation (10) de la note précédente ; et d’après la même équation, on pourra aussi écrire

$\sin .^{2}\alpha _{p-2m}={\frac {\sin .^{2}\mathrm {A} \left({\frac {p-2m}{p}}\mathrm {K} ',k'\right)}{\cos .^{2}\mathrm {A} \left({\frac {2m}{p}}\mathrm {K} ',k'\right)}}.$

(2)

Or, les formules relatives à la transformation de $\operatorname {F} (k,\varphi )$ ne renfermant que les puissances paires de $\sin .\alpha _{1},\sin .\alpha _{2},\ldots \sin .\alpha _{p-1},$ il s’ensuit qu’elles seront réelles, dans le cas de la seconde valeur de $\sin .\alpha _{1}$ comme dans le cas de la première.

Afin d’exprimer plus commodément ces deux systèmes de formules, nous conviendrons d’indiquer par la caractéristique $\Pi ,$ placée devant une quantité $\mathrm {R} _{m},$ le produit des