dont il est aisé de voir que le nombre sera égal à
savoir,
réelles, et toutes les autres imaginaires. Si donc on fait
on aura
![{\displaystyle \sin .\alpha _{1}=\sin .\mathrm {A} \left({\frac {(4n+1)\mathrm {K} +2n'\mathrm {K} '{\sqrt {-1}}}{p}},k\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f67edbcf84a0b78b0a3e712515a5f93f53f72e01)
pour l’expression de toutes les valeurs de
Or, parmi ces valeurs, nous considérerons celle qui répond à
et
et la valeur relative à
et
selon que
sera un multiple de
augmenté ou diminué de l’unité. Ces deux valeurs seront
![{\displaystyle \sin .\alpha _{1}=\sin .\mathrm {A} \left({\frac {1}{p}}\mathrm {K} ,k\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cd8d91d4fea5bc34827f5ff160ff0ac8790d2dd)
![{\displaystyle \sin .\alpha _{1}=\sin .\mathrm {A} \left(\pm \mathrm {K} -\mathrm {K} '{\sqrt {-1}}+{\frac {\mathrm {K} '{\sqrt {-1}}}{p}},k\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d84fc134008ac0b9129ccb0747f0a64bb83532d1)
et quoique la seconde soit imaginaire, en l’employant dans les formules de la note A, elles n’en seront pas moins réelles.
En effet, pour un indice pair quelconque, on aura
![{\displaystyle \sin .\alpha _{2m}=\sin .\mathrm {A} \left(\pm 2m\mathrm {K} -2m\mathrm {K} '{\sqrt {-1}}+{\frac {2m}{p}}\mathrm {K} '{\sqrt {-1}},k\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/918cf9e76825c9ee7493461639d98d0621485cc3)
on peut augmenter une amplitude, d’un multiple de
sans rien changer à son sinus, et l’augmenter ou la diminuer d’un multiple de
en changeant le signe de son sinus ou sans y rien changer, selon que ce multiple est impair ou pair ; on aura donc simplement
![{\displaystyle \sin .\alpha _{2m}=\sin .^{2}\mathrm {A} \left({\frac {2m}{p}}\mathrm {K} '{\sqrt {-1}},k\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e58814e34f7f31dea9c54e74bd17efc7a034a04)
D’ailleurs, si l’on fait
![{\displaystyle \sin .\varphi ={\sqrt {-1}}.\operatorname {tang} .\theta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcd14c31eb356a18b872a9d9542e2ce59a1d8a39)
il vient