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dont il est aisé de voir que le nombre sera égal à $p^{2},$ savoir, $p$ réelles, et toutes les autres imaginaires. Si donc on fait $z=\mathrm {K} ,$ on aura

$\sin .\alpha _{1}=\sin .\mathrm {A} \left({\frac {(4n+1)\mathrm {K} +2n'\mathrm {K} '{\sqrt {-1}}}{p}},k\right),$

pour l’expression de toutes les valeurs de $\sin .\alpha _{1}.$ Or, parmi ces valeurs, nous considérerons celle qui répond à $n=0$ et $n'=0,$ et la valeur relative à $2n'=1-p$ et $4n+1=\pm p,$ selon que $p$ sera un multiple de $4$ augmenté ou diminué de l’unité. Ces deux valeurs seront

$\sin .\alpha _{1}=\sin .\mathrm {A} \left({\frac {1}{p}}\mathrm {K} ,k\right),$

$\sin .\alpha _{1}=\sin .\mathrm {A} \left(\pm \mathrm {K} -\mathrm {K} '{\sqrt {-1}}+{\frac {\mathrm {K} '{\sqrt {-1}}}{p}},k\right)\,;$

et quoique la seconde soit imaginaire, en l’employant dans les formules de la note A, elles n’en seront pas moins réelles.

En effet, pour un indice pair quelconque, on aura

$\sin .\alpha _{2m}=\sin .\mathrm {A} \left(\pm 2m\mathrm {K} -2m\mathrm {K} '{\sqrt {-1}}+{\frac {2m}{p}}\mathrm {K} '{\sqrt {-1}},k\right)\,;$

on peut augmenter une amplitude, d’un multiple de $2\mathrm {K} '{\sqrt {-1}}$ sans rien changer à son sinus, et l’augmenter ou la diminuer d’un multiple de $2\mathrm {K}$ en changeant le signe de son sinus ou sans y rien changer, selon que ce multiple est impair ou pair ; on aura donc simplement

$\sin .\alpha _{2m}=\sin .^{2}\mathrm {A} \left({\frac {2m}{p}}\mathrm {K} '{\sqrt {-1}},k\right).$

D’ailleurs, si l’on fait

$\sin .\varphi ={\sqrt {-1}}.\operatorname {tang} .\theta ,$

il vient