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y aura toujours une double transformation réelle pour chaque valeur donnée du nombre premier $p.$

Pour le faire voir, soit, comme précédemment,

$\operatorname {F} (k,\varphi )=z.$

Afin d’indiquer le module dans la notation de l’amplitude nous écrirons

$\varphi =\mathrm {A} (z,k),\qquad \sin .\varphi =\sin .\mathrm {A} (z,k).$

Nous conviendrons aussi de désigner par $k',h',g',$ et les compléments des modules $k,h,g,$ etc., et par $\mathrm {K,H} ,$ etc., $\mathrm {K',H'} ,$ etc., les fonctions complètes dont les modules sont $k,h,$ etc., $k',h',$ etc., de sorte qu’on ait

$k'={\sqrt {1-k^{2}}},\qquad h'={\sqrt {1-h^{2}}},$ etc.,

$\mathrm {K} =\operatorname {F} \left(k,{\frac {1}{2}}\pi \right),\qquad \mathrm {K} '=\operatorname {F} \left(k',{\frac {1}{2}}\pi \right),\qquad \mathrm {H} =\operatorname {F} \left(h,{\frac {1}{2}}\pi \right),$ etc.

M. Abel a démontré que $\sin .\mathrm {A} (z,k)$ est une fonction de $z$ qui ne change pas de valeur, quand on augmente ou qu’on diminue $z,$ soit d’un multiple de $4\mathrm {K} ,$ soit d’un multiple de $2\mathrm {K} '{\sqrt {-1}},$ de manière qu’on a

$\sin .\mathrm {A} \left(z+4n\mathrm {K} +2n'\mathrm {K} '{\sqrt {-1}},k\right)=\sin .\mathrm {A} (z,k)\,;$

$n$ et $n'$ étant des nombres entiers positifs ou négatifs. Il suit de là que si l’on veut diviser une fonction quelconque $z$ en un nombre $p$ de parties égales ; que le sinus de son amplitude soit donné, et qu’il s’agisse d’en déduire le sinus de celle d’une partie ${\frac {1}{p}}z,$ les racines réelles ou imaginaires de l’équation relative à cette division seront les valeurs différentes de

$\sin .\mathrm {A} \left({\frac {z+4n\mathrm {K} +2n'\mathrm {K} '{\sqrt {-1}}}{p}},k\right),$