y aura toujours une double transformation réelle pour chaque valeur donnée du nombre premier
Pour le faire voir, soit, comme précédemment,
![{\displaystyle \operatorname {F} (k,\varphi )=z.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afab23c632c10e092e532930d8ed19798e5bec92)
Afin d’indiquer le module dans la notation de l’amplitude nous écrirons
![{\displaystyle \varphi =\mathrm {A} (z,k),\qquad \sin .\varphi =\sin .\mathrm {A} (z,k).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ea5a9d7a24159c958126c0b2196452657cfdca1)
Nous conviendrons aussi de désigner par
et les compléments des modules
etc., et par
etc.,
etc., les fonctions complètes dont les modules sont
etc.,
etc., de sorte qu’on ait
![{\displaystyle k'={\sqrt {1-k^{2}}},\qquad h'={\sqrt {1-h^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b2d0819db634a2b48c75c6c8172b705d8f72c0b)
etc.,
![{\displaystyle \mathrm {K} =\operatorname {F} \left(k,{\frac {1}{2}}\pi \right),\qquad \mathrm {K} '=\operatorname {F} \left(k',{\frac {1}{2}}\pi \right),\qquad \mathrm {H} =\operatorname {F} \left(h,{\frac {1}{2}}\pi \right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b62cd6bd03f1634da80c2e6ec07a9c6a52fdf28f)
etc.
M. Abel a démontré que
est une fonction de
qui ne change pas de valeur, quand on augmente ou qu’on diminue
soit d’un multiple de
soit d’un multiple de
de manière qu’on a
![{\displaystyle \sin .\mathrm {A} \left(z+4n\mathrm {K} +2n'\mathrm {K} '{\sqrt {-1}},k\right)=\sin .\mathrm {A} (z,k)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7814c6bc99f39b96f00565103c96c9795d88647c)
et
étant des nombres entiers positifs ou négatifs. Il suit de là que si l’on veut diviser une fonction quelconque
en un nombre
de parties égales ; que le sinus de son amplitude soit donné, et qu’il s’agisse d’en déduire le sinus de celle d’une partie
les racines réelles ou imaginaires de l’équation relative à cette division seront les valeurs différentes de
![{\displaystyle \sin .\mathrm {A} \left({\frac {z+4n\mathrm {K} +2n'\mathrm {K} '{\sqrt {-1}}}{p}},k\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c07e3965baf80d7459d45980df62ed5694f218b2)