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dans laquelle $\varphi _{m}$ est déterminé par l’équation :

$\operatorname {tang} .\varphi _{m}={\frac {\cos .\alpha _{m}}{\sin .\alpha _{p-m}}}\operatorname {tang} .\varphi .$

Note B.

Les sinus des amplitudes $\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots \alpha _{p-1},$ qui entrent dans les formules précédentes, s’expriment tous en fonctions rationnelles du sinus et du cosinus de la première ; mais pour obtenir les valeurs de $\sin .\alpha _{1},$ il faut résoudre l’équation relative à la division d’une fonction complète $\mathrm {K}$ en un nombre $p$ de parties égales. Si l’on conçoit qu’on l’ait formée, et qu’on élimine l’inconnue $\sin .\alpha _{1},$ entre cette équation et la formule (13), on obtiendra une équation algébrique, que je désignerai par $\mathrm {M} =0,$ entre les modules $k$ et $h$ des deux fonctions qu’on veut réduire l’une à l’autre. On pourra employer toutes les valeurs réelles ou imaginaires de $h$ que l’on tirera de $\mathrm {M} =0,$ et il en résultera autant de transformations différentes de la fonction $\operatorname {F} (k,\varphi )$ en la fonction $\operatorname {F} (h,\psi )$ Le degré de cette équation sera généralement très-élevé : en y faisant $k=u^{\frac {1}{4}},$ $h=v^{\frac {1}{4}},$ elle sera symétrique par rapport à $u$ et $v,$ et du quatrième degré dans le cas de $p=3,$ et du sixième dans le cas de $p=5.$ Si $p$ n’est pas un nombre premier, on considérera séparément ses différents facteurs, et l’on opérera la transformation relative à $p,$ par une suite de transformations relatives à tous ses facteurs. En prenant pour $p$ un nombre premier quelconque, il existera deux valeurs de $h$ pour lesquelles la transformation de $\operatorname {F} (k,\varphi )$ en $\operatorname {F} (h,\psi )$ se fera par des quantités réelles, c’est-à-dire, qu’abstraction faite des transformations imaginaires, il