d’où l’on conclut que
et
se changent simultanément en
et
J’effectue ce double changement dans l’équation (12) ; en divisant ses deux membres par
il vient
![{\displaystyle {\frac {1}{hy}}{\sqrt {1-h^{2}y^{2}}}={\frac {1}{\beta x}}{\sqrt {1-x^{2}}}{\frac {\left(1-k^{2}x^{2}\sin .^{2}\alpha _{p-2}\right)\left(1-k^{2}x^{2}\sin .^{2}\alpha _{p-4}\right)\ldots }{\left(1-{\frac {x^{2}}{\sin .^{2}\alpha _{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{\sin .^{2}\alpha _{4}}}\right)\ldots }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e91f7b015cf772842751f45bb80644e71e0e70f5)
où l’on a fait pour abréger,
![{\displaystyle k^{p}\sin .^{2}\alpha _{1}\sin .^{2}\alpha _{3}\ldots \sin .^{2}\alpha _{p-2}.\sin .^{2}\alpha _{2}\sin .^{2}\alpha _{4}\ldots \sin .^{2}\alpha _{p-1}=\beta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3847f7b85f689fe5728762e040d2f01438eeaee6)
Je multiplie l’équation précédente par
je substitue ensuite dans son second membre, la valeur de
donnée par l’équation (9): en tenant compte des valeurs de
on obtient
|
|
(14)
|
Au moyen des formules (12) et (14), nous aurons
![{\displaystyle {\sqrt {(1-y^{2})(1-h^{2}y^{2})}}={\sqrt {(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})}}=\mathrm {\frac {QQ'}{V^{2}}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46005f9e6d111cdc40f25f8e2ff09f5d6e399e5e)
en faisant, pour abréger,
![{\displaystyle \mathrm {Q} =\left(1-{\frac {x^{2}}{\sin .^{2}\alpha _{1}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{\sin .^{2}\alpha _{3}}}\right)\ldots \left(1-{\frac {x^{2}}{\sin .^{2}\alpha _{p-2}}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60e76b98e2f2a18eaaa631b18a81a1f0caaa552e)
![{\displaystyle \mathrm {Q} '=\left(1-k^{2}x^{2}\sin .^{2}\alpha _{2}\right)\left(1-k^{2}x^{2}\sin .^{2}\alpha _{4}\right)\ldots \left(1-k^{2}x^{2}\sin .^{2}\alpha _{p-1}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9120411e25a4d727ea48b711a91d768f1d596f6e)
et prenant pour
la même valeur que précédemment. Si donc on met
à la place de
on aura
![{\displaystyle \mathrm {\left(V^{2}-U^{2}\right)} \left(\mathrm {V} ^{2}-h^{2}\mathrm {U} ^{2}\right)=(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})\mathrm {Q^{2}Q'^{2}} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6623ba34c731c31ae2909e57f75fff846066e38)