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d’où l’on conclut que $x$ et $y$ se changent simultanément en ${\frac {1}{kx}}$ et ${\frac {1}{hy}}.$ J’effectue ce double changement dans l’équation (12) ; en divisant ses deux membres par ${\sqrt {-1}},$ il vient

${\frac {1}{hy}}{\sqrt {1-h^{2}y^{2}}}={\frac {1}{\beta x}}{\sqrt {1-x^{2}}}{\frac {\left(1-k^{2}x^{2}\sin .^{2}\alpha _{p-2}\right)\left(1-k^{2}x^{2}\sin .^{2}\alpha _{p-4}\right)\ldots }{\left(1-{\frac {x^{2}}{\sin .^{2}\alpha _{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{\sin .^{2}\alpha _{4}}}\right)\ldots }},$

où l’on a fait pour abréger,

$k^{p}\sin .^{2}\alpha _{1}\sin .^{2}\alpha _{3}\ldots \sin .^{2}\alpha _{p-2}.\sin .^{2}\alpha _{2}\sin .^{2}\alpha _{4}\ldots \sin .^{2}\alpha _{p-1}=\beta .$

Je multiplie l’équation précédente par $hy\,;$ je substitue ensuite dans son second membre, la valeur de $y$ donnée par l’équation (9): en tenant compte des valeurs de $\mu ,h,\beta ,$ on obtient

${\begin{aligned}&{\sqrt {1-h^{2}y^{2}}}={\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}\times \\&{\frac {\left(1-k^{2}x^{2}\sin .^{2}\alpha _{p-2}\right)\left(1-k^{2}x^{2}\sin .^{2}\alpha _{p-4}\right)\ldots \left(1-k^{2}x^{2}\sin .^{2}\alpha _{1}\right)}{\left(1-k^{2}x^{2}\sin .^{2}\alpha _{2}\right)\left(1-k^{2}x^{2}\sin .^{2}\alpha _{4}\right)\ldots \left(1-k^{2}x^{2}\sin .^{2}\alpha _{p-1}\right)}}\end{aligned}}$

(14)

Au moyen des formules (12) et (14), nous aurons

${\sqrt {(1-y^{2})(1-h^{2}y^{2})}}={\sqrt {(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})}}=\mathrm {\frac {QQ'}{V^{2}}} ,$

en faisant, pour abréger,

$\mathrm {Q} =\left(1-{\frac {x^{2}}{\sin .^{2}\alpha _{1}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{\sin .^{2}\alpha _{3}}}\right)\ldots \left(1-{\frac {x^{2}}{\sin .^{2}\alpha _{p-2}}}\right),$

$\mathrm {Q} '=\left(1-k^{2}x^{2}\sin .^{2}\alpha _{2}\right)\left(1-k^{2}x^{2}\sin .^{2}\alpha _{4}\right)\ldots \left(1-k^{2}x^{2}\sin .^{2}\alpha _{p-1}\right),$

et prenant pour $\mathrm {V}$ la même valeur que précédemment. Si donc on met $\mathrm {\frac {U}{V}}$ à la place de $y,$ on aura

$\mathrm {\left(V^{2}-U^{2}\right)} \left(\mathrm {V} ^{2}-h^{2}\mathrm {U} ^{2}\right)=(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})\mathrm {Q^{2}Q'^{2}} \,;$