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$\operatorname {F} (k,\alpha _{2m})={\frac {2m}{p}}\operatorname {F} \left(k,{\frac {1}{2}}\pi \right),\qquad \operatorname {F} (k,\alpha _{p-2m})={\frac {p-2m}{p}}\operatorname {F} \left(k,{\frac {1}{2}}\pi \right),$

on aura

$\operatorname {F} \left(k,{\frac {1}{2}}\pi \right)-\operatorname {F} (k,\alpha _{2m})=\operatorname {F} (k,\alpha _{p-2m})\,;$

si donc on prend $\varphi ={\frac {1}{2}}\pi ,$ $\theta =\alpha _{2m},$ $\delta =\alpha _{p-2m},$ la seconde équation (6) donnera

$sin.^{2}\alpha _{p-2m}={\frac {\cos .^{2}\alpha _{2m}}{1-k^{2}\sin ..^{2}\alpha _{2m}}}\,;$

(10)

au moyen de quoi la valeur précédente de $\mu$ deviendra plus simplement

$\mu ={\frac {\sin .^{2}\alpha _{1}\sin .^{2}\alpha _{3}\ldots \sin .^{2}\alpha _{p-2}}{sin.^{2}\alpha _{p-1}sin.^{2}\alpha _{p-3}sin.^{2}\alpha _{0}}}$

(11)

III.

Il résulte de l’équation (9) que y change de signe avec $x\,;$ si donc on met $-x$ et $-y$ à la place de $x$ et $y$ dans l’équation (8), on aura la valeur de $1+y\,;$ et en la multipliant par celle de $1-y,$ et prenant la racine carrée du produit, on en conclura

${\begin{aligned}&{\sqrt {1-y^{2}}}={\sqrt {1-x^{2}}}\\&\times {\frac {\left(1-{\frac {x^{2}}{\sin .^{2}\alpha _{p-2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{\sin .^{2}\alpha _{p-4}}}\right)\ldots \left(1-{\frac {x^{2}}{\sin .^{2}\alpha _{1}}}\right)}{\left(1-k^{2}x^{2}\sin .^{2}\alpha _{2}\right)\left(1-k^{2}x^{2}\sin .^{2}\alpha _{4}\right)\ldots \left(1-k^{2}x^{2}\sin .^{2}\alpha _{p-1}\right)}}\end{aligned}}$

(12)

Je désigne par ${\frac {1}{u}}$ ce que devient $y$ quand on y met ${\frac {1}{kx}}$ au lieu de $x\,;$ d’après les équations (9) et (10), on aura

$u=yk^{p}\mu ^{2}\sin .^{4}\alpha _{2},\sin .^{4}\alpha _{4},\sin .^{4}\alpha _{p-1}\,;$

c’est-à-dire, $u=hy,$ en ayant égard à la valeur de $\mu ,$ et faisant

$h=k^{p}\sin .^{4}\alpha _{1},\sin .^{4}\alpha _{3},\sin .^{4}\alpha _{p-2}\,;$

(13)