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et désignant par $\mathrm {U}$ une fonction rationnelle et entière de $x,$ qui sera du degré $p.$ Cette fonction sera nulle, ainsi que $y,$ pour $z={\frac {4m}{p}}\mathrm {K} ,$ c’est-à-dire, quand on y fera $x=\sin .\mathrm {A} \left({\frac {4m}{p}}\mathrm {K} \right)\,;$ d’où il résulte que les $p$ racines de l’équation $\mathrm {U} =0,$ seront

$0,\quad \pm \sin .\mathrm {A} \left({\frac {4}{p}}\mathrm {K} \right),\quad \pm \sin .\mathrm {A} \left({\frac {8}{p}}\mathrm {K} \right),\ldots \pm \sin .\mathrm {A} \left({\frac {2p-2}{p}}\mathrm {K} \right),$

ou, ce qui est la même chose,

$0,\quad \pm \sin .\mathrm {A} \left({\frac {2}{p}}\mathrm {K} \right),\quad \pm \sin .\mathrm {A} \left({\frac {4}{p}}\mathrm {K} \right),\ldots \pm \sin .\mathrm {A} \left({\frac {p-1}{p}}\mathrm {K} \right).$

Nous aurons donc

$\mathrm {U} ={\frac {x}{\mu }}\left(1-{\frac {x^{2}}{\sin .^{2}\alpha _{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{\sin .^{2}\alpha _{4}}}\right)\ldots \left(1-{\frac {x^{2}}{\sin .^{2}\alpha _{p-1}}}\right)\,;$

$\mu$ désignant une quantité indépendante de $x$ qui restera à déterminer. Par conséquent, la valeur de $y$ aura pour expression :

$y={\frac {x}{\mu }}{\frac {1-{\frac {x^{2}}{\sin .^{2}\alpha _{2}}}}{1-k^{2}x^{2}\sin .^{2}\alpha _{2}}}{\frac {1-{\frac {x^{2}}{\sin .^{2}\alpha _{4}}}}{1-k^{2}x^{2}\sin .^{2}\alpha _{4}}}\ldots {\frac {1-{\frac {x^{2}}{\sin .^{2}\alpha _{p-1}}}}{1-k^{2}x^{2}\sin .^{2}\alpha _{p-1}}}.$

(9)

Pour déterminer $\mu ,$ j’observe qu’en faisant $x=\pm 1,$ selon que ${\frac {1}{2}}(p-1)$ sera pair ou impair, l’équation (8) donnera $y=1$ dans les deux cas. Je fais donc à la fois $x=\pm 1$ et $y=1$ dans l’équation (9) ; le nombre des facteurs de son second membre, le premier excepté, étant ${\frac {1}{2}}(p-1),$ il en résultera

$\mu ={\frac {\left(1-k^{2}\sin .^{2}\alpha _{2}\right)\left(1-k^{2}\sin .^{2}\alpha _{4}\right)\ldots \left(1-k^{2}\sin .^{2}\alpha _{p-1}\right)}{\cot .^{2}\alpha _{2}\cot .^{2}\alpha _{4}\ldots \cot .^{2}\alpha _{p-1}}}.$

D’ailleurs à cause de