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${\begin{aligned}\operatorname {F} (k,\sigma )=&\operatorname {F} (k,\varphi )+{\frac {m}{p}}\mathrm {K} ,\\\operatorname {F} (k,\delta )=&\operatorname {F} (k,\varphi )-{\frac {m}{p}}\mathrm {K} .\end{aligned}}$

Soit, pour abréger,

$\operatorname {F} (k,\varphi )=z\,;$

l’angle $\varphi$ sera l’amplitude de $z\,;$ on pourra écrire

$x=\sin .\varphi =\sin .\mathrm {A} z,$

et, par la même raison, I

$\sin .\sigma =\sin .\mathrm {A} \left(z+{\frac {m}{p}}\mathrm {K} \right),\qquad \sin .\delta =\sin .\mathrm {A} \left(z-{\frac {m}{p}}\mathrm {K} \right)\,;$

d’où il résultera

${\frac {\left(1-{\frac {x}{\sin .\alpha _{p-m}}}\right)^{2}}{1-k^{2}x^{2}\sin .^{2}\alpha _{m}}}={\frac {\left[1-\sin .\mathrm {A} \left(z+{\frac {m}{p}}\mathrm {K} \right)\right]\left[1-\sin .\mathrm {A} \left(z-{\frac {m}{p}}\mathrm {K} \right)\right]}{\cos .^{2}\alpha _{m}}}.$

À cause que le signe de l’amplitude change avec celui de la fonction, on pourra mettre $-x$ et $-z$ à la place de $x$ et $z\,;$ on aura, par conséquent, cette double expression :

${\frac {\left(1\pm {\frac {x}{\sin .\alpha _{p-m}}}\right)^{2}}{1-k^{2}x^{2}\sin .^{2}\alpha _{m}}}={\frac {\left[1\pm \sin .\mathrm {A} \left(z-{\frac {m}{p}}\mathrm {K} \right)\right]\left[1\pm \sin .\mathrm {A} \left(z+{\frac {m}{p}}\mathrm {K} \right)\right]}{\cos .^{2}\alpha _{m}}},$

au moyen de laquelle, la formule (5) deviendra

$1-y={\frac {(1\mp \sin .\mathrm {A} z)\mathrm {PP} '}{\cos .^{2}\alpha _{2}\cos .^{2}\alpha _{4}\ldots \cos .^{2}\alpha _{p-1}}}\,;$

(7)

$\mathrm {P}$ désignant le produit des ${\frac {p-1}{2}}$ facteurs :