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ou, autrement dit, faisons

\operatorname {F} (k,\alpha _{m})={\frac {m}{p}}\mathrm {K} .

Cela posé, nous allons considérer l’équation

1-y={\frac {\left(1\pm {\frac {x}{\sin .\alpha _{p-2}}}\right)^{2}}{1-k^{2}x^{2}\sin .^{2}\alpha _{2}}}{\frac {\left(1\mp {\frac {x}{\sin .\alpha _{p-4}}}\right)^{2}}{1-k^{2}x^{2}\sin .^{2}\alpha _{4}}}\ldots {\frac {\left(1-{\frac {x}{\sin .\alpha _{1}}}\right)^{2}}{1-k^{2}x^{2}\sin .^{2}\alpha _{p-1}}},

(5)

dans laquelle on prendra les signes supérieurs ou inférieurs selon que $p$ sera de la forme $4n+1$ ou $4n-1.$

Pour transformer cette équation en une autre, soit en général

{\begin{aligned}\operatorname {F} (k,\varphi )+\operatorname {F} (k,\theta )=&\operatorname {F} (k,\sigma ),\\\operatorname {F} (k,\varphi )-\operatorname {F} (k,\theta )=&\operatorname {F} (k,\delta ).\\\end{aligned}}

D’après les formules connues d’Euler, on aura

\left.{\begin{aligned}\sin .\sigma =&{\frac {\sin .\varphi \cos .\theta {\sqrt {1-k^{2}\sin .^{2}\theta }}+\sin .\theta \cos .\varphi {\sqrt {1-k^{2}\sin .^{2}\varphi }}}{1-k^{2}\sin .^{2}\varphi \sin .^{2}\theta }},\\\sin .\delta =&{\frac {\sin .\varphi \cos .\theta {\sqrt {1-k^{2}\sin .^{2}\theta }}-\sin .\theta \cos .\varphi {\sqrt {1-k^{2}\sin .^{2}\varphi }}}{1-k^{2}\sin .^{2}\varphi \sin .^{2}\theta }}\,;\end{aligned}}\right\}

(6)

et en faisant

\mathrm {K} -\operatorname {F} (k,\theta )=\operatorname {F} (k,\theta '),

on en conclura sans difficulté^[1]

{\frac {\left(1-{\frac {\sin .\varphi }{\sin .\theta '}}\right)^{2}}{1-k^{2}\sin .^{2}\varphi \sin .^{2}\theta }}={\frac {(1-\sin .\sigma )(1-\sin .\delta )}{\cos .^{2}\varphi }}.

Si l’on prend $\theta =\alpha _{m},$ on aura $\theta '=\alpha _{p-m},$ et en même temps