ou, autrement dit, faisons
![{\displaystyle \operatorname {F} (k,\alpha _{m})={\frac {m}{p}}\mathrm {K} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2ef1f3db5ddc50e60337ce73db312a3ad565d6d)
Cela posé, nous allons considérer l’équation
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(5)
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dans laquelle on prendra les signes supérieurs ou inférieurs selon que
sera de la forme
ou ![{\displaystyle 4n-1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c88dd748f8706137f36ab3b723cbda845c55351f)
Pour transformer cette équation en une autre, soit en général
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {F} (k,\varphi )+\operatorname {F} (k,\theta )=&\operatorname {F} (k,\sigma ),\\\operatorname {F} (k,\varphi )-\operatorname {F} (k,\theta )=&\operatorname {F} (k,\delta ).\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/017afc11f7a7f8852f6dfe51a137b1e10361ee05)
D’après les formules connues d’Euler, on aura
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(6)
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et en faisant
![{\displaystyle \mathrm {K} -\operatorname {F} (k,\theta )=\operatorname {F} (k,\theta '),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cd8f7cd32a22eeeeb0ba3bfd9145e644ae346bb)
on en conclura sans difficulté[1]
![{\displaystyle {\frac {\left(1-{\frac {\sin .\varphi }{\sin .\theta '}}\right)^{2}}{1-k^{2}\sin .^{2}\varphi \sin .^{2}\theta }}={\frac {(1-\sin .\sigma )(1-\sin .\delta )}{\cos .^{2}\varphi }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e33c966861abe91d36d9439443959449077152b6)
Si l’on prend
on aura
et en même temps
- ↑ Traité des fonctions elliptiques, tome III, page 4.