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constantes inconnues. L’équation (2) sera alors remplacée par celle-ci :

$\mathrm {\left(V^{2}-U^{2}\right)} +\left(\mathrm {V} ^{2}-h^{2}\mathrm {U} ^{2}\right)=\left(1-x^{2}\right)\left(1-k^{2}x^{2}\right)\mathrm {T} ^{2}.$

(4)

II.

Si nous faisons

$x\sin .\varphi ,\qquad y=\sin .\psi ,$

l’équation (3) deviendra

${\frac {d\varphi }{\sqrt {1-k^{2}\sin .^{2}\varphi }}}={\frac {\mu d\psi }{\sqrt {1-h^{2}\sin .^{2}\psi }}}.$

En prenant les intégrales de ses deux membres, de manière qu’elles s’évanouissent avec les variables $\varphi$ et $\psi ,$ nous aurons

$\operatorname {F} (k,\varphi )=\mu \operatorname {F} (h,\psi ).$

en sorte que la transformation demandée sera celle d’une fonction elliptique de première espèce en une autre ; $k$ et $\varphi$ étant le module et l’amplitude de la fonction donnée, $h$ et $\psi$ le module et l’amplitude de la fonction cherchée, et $\mu$ le rapport de l’une à l’autre.

Représentons par $\mathrm {K}$ la fonction complète dont le module est $k,$ de sorte qu’on ait

$\operatorname {F} \left(k,{\frac {1}{2}}\pi \right)=\mathrm {K} \,;$

$\pi$ désignant à l’ordinaire le rapport de la circonférence au diamètre. Soit $p$ un nombre impair quelconque ; divisons $\mathrm {K}$ en un nombre $p$ de parties égales ; prenons un nombre $m$ de ces parties, et représentons par $\alpha _{m}$ l’amplitude de ${\frac {m}{p}}\mathrm {K} ,$