constantes inconnues. L’équation (2) sera alors remplacée par celle-ci :
|
|
(4)
|
II.
Si nous faisons
![{\displaystyle x\sin .\varphi ,\qquad y=\sin .\psi ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f72dbe7e9fda5958b13e3c629c54d696e2f71bb3)
l’équation (3) deviendra
![{\displaystyle {\frac {d\varphi }{\sqrt {1-k^{2}\sin .^{2}\varphi }}}={\frac {\mu d\psi }{\sqrt {1-h^{2}\sin .^{2}\psi }}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06e271545b8bf8b2d4d08d5bd604f61b10e9e63e)
En prenant les intégrales de ses deux membres, de manière qu’elles s’évanouissent avec les variables
et
nous aurons
![{\displaystyle \operatorname {F} (k,\varphi )=\mu \operatorname {F} (h,\psi ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbb335b17de620e6d9f0a2b25b00119a8c15bb2e)
en sorte que la transformation demandée sera celle d’une fonction elliptique de première espèce en une autre ;
et
étant le module et l’amplitude de la fonction donnée,
et
le module et l’amplitude de la fonction cherchée, et
le rapport de l’une à l’autre.
Représentons par
la fonction complète dont le module est
de sorte qu’on ait
![{\displaystyle \operatorname {F} \left(k,{\frac {1}{2}}\pi \right)=\mathrm {K} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b964c0f9c011000f348de7565bd49d29b6ebce46)
désignant à l’ordinaire le rapport de la circonférence au diamètre. Soit
un nombre impair quelconque ; divisons
en un nombre
de parties égales ; prenons un nombre
de ces parties, et représentons par
l’amplitude de ![{\displaystyle {\frac {m}{p}}\mathrm {K} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c6850bacca61112c36b46d916303c2a4fcd9cee)