D’un autre côté, on a identiquement
![{\displaystyle (\mathrm {V} -b\mathrm {U} ){\frac {d\mathrm {U} }{dx}}-\mathrm {U} {\frac {d(\mathrm {V} -b\mathrm {U} )}{dx}}=\mathrm {V} {\frac {d\mathrm {U} }{dx}}-\mathrm {U} {\frac {d\mathrm {V} }{dx}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21c0fb08b3eebf0f4fec15ee11ed2e7ba215be52)
ce qui montre que tout facteur double de
est un facteur simple de
Il en sera de même à l’égard de tout facteur double des trois autres polynomes
par conséquent, le carré de
renfermera le produit de tous les facteurs doubles des quatre polynomes ; ce qui exige que ce polynome
soit au moins du degré
Or, si
et
sont les degrés de
et de
celui du polynome dont il s’agit ne pourra surpasser
il sera égal à ce nombre, si
et
sont égaux, et s’abaissera d’une unité, ou sera simplement égal à
dans le cas de
il faudra donc qu’on ait
ou
et dans ces deux cas le polynome
sera du degré
Par conséquent son carré ne pourra être que le produit de tous les facteurs doubles de
multiplié par un coefficient constant ; donc, à un coefficient près, ce polynome sera le même que
ce qu’il s’agissait de démontrer.
Ainsi, l’équation (1) sera une conséquence nécessaire del l’équation (2) ; et la transformation que nous voulons effectuer, se réduit à remplir la condition exprimée par cette dernière équation. Or, si l’on prend pour chacune des quantités
et
le polynome le plus général du degré
et pour