Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 10.djvu/312

coïncide avec la première, il faudra qu’on ait

${\begin{aligned}&(\mathrm {V} -b\mathrm {U} )(\mathrm {V} -b'\mathrm {U} )(\mathrm {V} -b''\mathrm {U} )(\mathrm {V} -b'''\mathrm {U} )\\&=\mu ^{2}(1-ax)(1-a'x)(1-a''x)(1-a'''x)\left(\mathrm {V} {\frac {d\mathrm {U} }{dx}}-\mathrm {U} {\frac {d\mathrm {V} }{dx}}\right)^{2}.\end{aligned}}$

(1)

Or, si l’on trouve par un moyen quelconque, des valeurs de $\mathrm {U}$ et $\mathrm {V} ,$ et d’un troisième polynome $\mathrm {T} ,$ qui rendent identique une équation :

${\begin{aligned}&(\mathrm {V} -b\mathrm {U} )(\mathrm {V} -b'\mathrm {U} )(\mathrm {V} -b''\mathrm {U} )(\mathrm {V} -b'''\mathrm {U} )\\&=(1-ax)(1-a'x)(1-a''x)(1-a'''x)\mathrm {T} ^{2},\end{aligned}}$

(2)

je dis qu’on aura nécessairement

$\mathrm {T} =\mu \left(\mathrm {V} {\frac {d\mathrm {U} }{dx}}-\mathrm {U} {\frac {d\mathrm {V} }{dx}}\right)^{2},$

En effet, les deux polynomes $\mathrm {U}$ et $\mathrm {V}$ étant premiers entre eux, et les coefficients $b,b',b'',''',$ inégaux, les polynomes $\mathrm {V} -b\mathrm {U} ,\,\mathrm {V} -b'\mathrm {U} ,\,\mathrm {V} -b''\mathrm {U} ,\,\mathrm {V} -b'''\mathrm {U} ,$ seront aussi premiers ; par conséquent, les facteurs de $\mathrm {T} '$ ne pourront être que des facteurs doubles d’un ou de plusieurs de ces quatre polynomes. Réciproquement, les coefficients $a,a',a'',''',$ étant aussi inégaux, tous les facteurs doubles de ces polynomes sont facteurs de $\mathrm {T} ^{2};$ donc $\mathrm {T} ^{2}$ est égal au produit de tous les facteurs doubles de $\mathrm {V} -b\mathrm {U} ,\,\mathrm {V} -b'\mathrm {U} ,$ $\mathrm {V} -b''\mathrm {U} ,$ $\mathrm {V} -b'''\mathrm {U} ,$ multiplié par un coefficient constant. Observons, de plus, que si $p$ est le degré de $\mathrm {U}$ et de $\mathrm {V} ,$ ou du plus élevé de ces deux polynomes, le premier membre de l’équation (2) sera du degré $4p,$ et $\mathrm {T} ,$ du degré $2p-2\,;$ en sorte que ce nombre $2p-2$ sera celui des facteurs doubles de $\mathrm {V} -b\mathrm {U} ,$ $\mathrm {V} -b'\mathrm {U} ,$ $\mathrm {V} -b''\mathrm {U} ,\,\mathrm {V} -b'''\mathrm {U} .$