division en un nombre impair de parties égales, dont le degré est marqué par le carré de ce nombre, peut se décomposer en deux autres, d’un degré seulement égal à ce même nombre. C’est de cette manière que M. Jacobi a résolu le premier par des radicaux du second et du troisième degré, le problème de la trisection d’une fonction elliptique dont le module et l’amplitude sont donnés.
En rendant infini le nombre indéterminé que ses formules renferment, M. Jacobi parvient, dans la seconde partie de son ouvrage, à de nouvelles formules au moyen desquelles le sinus et d’autres fonctions trigonométriques de l’amplitude se trouvent exprimés, soit en produits d’une infinité de facteurs, soit en séries infinies (Note D). L’auteur fait voir comment ces séries peuvent servir à la démonstration des théorèmes de Fermat ; ce qui établit un rapport singulier entre la décomposition des nombres en plusieurs carrés et la transformation des fonctions elliptiques, et donne lieu à une nouvelle application de l’analyse à la théorie des nombres, tout-à-fait semblable aux recherches d’Euler sur la partition des nombres. Enfin M. Jacobi s’est aussi occupé de la réduction des fonctions de seconde et de troisième espèce ; et depuis la publication de l’ouvrage dont nous rendons compte, il a donné suite à ses recherches sur ce point, dans un mémoire qui fait partie de l’un des derniers numéros du journal de M. Crelle. Il nous serait impossible de donner aucune idée de cette partie de son travail ; nous dirons seulement que l’auteur propose de remplacer ces fonctions elliptiques, par deux autres transcendantes dont il a formé les développements en séries, et qui seraient plus simples que la fonction de troisième espèce, en ce qu’elles ne dépendent que de deux éléments,
