connaissait auparavant que deux solutions particulières. L’échelle de modules que M. Legendre a trouvée et qui n’était pas encore connue de M. Jacobi, est renfermée dans la solution générale et répond au nombre trois. L’ancienne échelle n’y est pas comprise explicitement ; mais elle a avec l’échelle indéterminée de M. Jacobi, une très-grande analogie, et peut être censée appartenir au nombre deux.
L’équation algébrique entre les modules des deux fonctions qu’on veut réduire l’une à l’autre, étant très-difficile à former, quand le nombre auquel ils répondent est un peu considérable, on y substitue avec avantage une équation transcendante, très-importante dans cette théorie, et dont M. Legendre a montré l’usage pour calculer la valeur approchée d’un terme quelconque de l’échelle des modules. M. Jacobi a aussi exprimé la relation entre deux modules consécutifs, par une équation différentielle du troisième ordre, qu’il a intégrée complètement au moyen des fonctions elliptiques. Des tables numériques de ces fonctions ayant été calculées, on peut maintenant admettre ce mode d’intégration dans l’analyse, aussi bien que l’intégration par ares de cercle et par logarithmes. M. Legendre en avait déjà donné l’exemple, à l’égard de deux équations différentielles du second ordre, et d’une équation du premier ordre, analogue à l’équation de Riccati.
Par une combinaison très-simple des formules de M. Jacobi, on obtient une solution nouvelle du problème de la multiplication et de la division des fonctions elliptiques dans le cas d’une amplitude quelconque, en supposant le problème résolu lorsque l’amplitude est un angle droit (note C).
On en conclut immédiatement que l’équation relative à la
