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elle comprend les résultats particuliers que Fagnani avait donnés, et tout ce qui concerne le premier mode de comparaison des fonctions elliptiques et leur division en parties égales. Sur ce premier point, Euler n’a rien laissé à faire à ses successeurs, si ce n’est la résolution même des équations algébriques, d’où dépend la division d’une fonction donnée ; résolution qui a été trouvée quatre-vingts ans plus tard, ainsi que nous le dirons à la fin de ce rapport. Mais M. Legendre remarque, comme une chose singulière, qu’Euler ne se soit jamais occupé de l’autre mode de comparaison et de réduction des fonctions elliptiques. Le premier pas qu’on a fait dans cette seconde partie, est le théorème de Landen, sur la réduction de l’arc d’hyperbole aux arcs d’ellipse. Quelque temps après (en 1784), Lagrange donna une méthode applicable à toutes les fonctions elliptiques, dont le but est d’en faciliter le calcul numérique, en augmentant ou diminuant de plus en plus la grandeur du module. Et, en effet, après qu’on a rendu par ce procédé, le module d’une fonction, très-peu différent de zéro ou de l’unité, on achève ensuite, sans difficulté, le calcul de sa valeur approchée. En la considérant comme une méthode d’approximation, celle que l’on doit à Lagrange ne laisse donc rien à désirer ; mais indépendamment de leurs valeurs numériques, il existe entre les fonctions elliptiques, des relations nombreuses qu’il est intéressant de connaître, et qu’on doit regarder comme autant de théorèmes d’analyse, ou bien encore, comme autant d’intégrales particulières d’une équation à deux termes, d’où il est facile de conclure son intégrale complète. Or, à cet égard, Lagrange est loin d’avoir épuisé la matière ; et il ne paraît pas même qu’il ait envisagé la question sous ce point de vue. Quoi qu’il en soit, .