Eulériennes de première et de seconde espèce, et dont il a exposé la théorie avec tous les développements que l’on peut désirer. Les autres constituent les fonctions elliptiques qui doivent être l’objet spécial de ce rapport. Ces fonctions sont susceptibles de trois formes distinctes, et se divisent, en conséquence, en fonctions elliptiques de première, de seconde et de troisième espèce ; chacune des fonctions des deux premiers ordres ne renferme qu’une seule constante qu’on nomme le module ; la fonction de seconde espèce est l’arc d’ellipse ; celle de troisième espèce est la plus compliquée, et contient deux quantités constantes. La variable d’où dépend chaque fonction s’appelle l’amplitude.
On compare les fonctions elliptiques sous deux points de vue différents : par rapport aux grandeurs de l’amplitude d’une même fonction, et relativement aux grandeurs du module de deux fonctions de même espèce, ou de deux fonctions d’espèce différente. Le théorème de Fagnani par lequel on assigne, sur une même ellipse, deux arcs dont la différence est une quantité donnée, et la division de la Lemniscate en parties égales, que ce géomètre a fait dépendre d’équations algébriques, se rapportent au premier mode de comparaison. Ce sont les premières questions de ce genre, dont les géomètres se soient occupés : elles datent de 1750 ; et on les citera toujours dans l’histoire du calcul intégral, comme le germe et l’origine de la théorie des fonctions elliptiques. Vient ensuite (en 1761) une des plus belles découvertes d’Euler, l’intégration sous forme finie, d’une équation à deux termes dont aucun ne peut s’intégrer séparément. L’intégrale qu’Euler a obtenue, fait connaître les sinus et cosinus de la somme et de la différence des amplitudes de deux fonctions données ;
