Les fractions rationnelles et quelques formules qui s’y ramènent immédiatement ou par une transformation très-simple, sont les seules différentielles dont on sache trouver les intégrales indéfinies. Relativement aux intégrales définies, le nombre de celles que l’on sait déterminer par différents moyens, est beaucoup plus considérable ; mais ce nombre est encore extrêmement petit, eu égard à celui des intégrales qui peuvent se rencontrer dans les diverses applications de l’analyse ; et le plus souvent on est obligé de calculer leurs valeurs approchées, soit par la réduction en séries convergentes, soit par la méthode des quadratures. Il y a lieu de penser que la plupart des intégrales qui ont résisté jusqu’à présent aux efforts si souvent réitérés des géomètres, et qui échappent à des méthodes où l’on a mis en œuvre toutes les ressources de l’analyse, sont impossibles sous forme finie, quoique cette impossibilité n’ait encore été démontrée pour aucune d’elles[1]. Cela étant, on a cherché à diminuer le nombre de ces quantités transcendantes, en les faisant dépendre les unes des autres ; ce qui a donné naissance à une branche d’analyse, très-étendue et d’une grande importance, dont l’objet est la comparaison et la réduction des intégrales.
Les principales classes d’intégrales que l’on a ainsi comparées entre elles, se réduisent à trois. Les unes sont les intégrales définies que M. Legendre a nommées intégrales
- ↑ Dans la Mécanique céleste, Laplace dit qu’il a démontré que l’intégrale d’où dépend l’attraction des sphéroïdes elliptiques, est impossible ; mais cette démonstration n’a été publiée nulle part, et l’on n’en a trouvé aucune trace dans les papiers de l’auteur.
