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on a donc cette proportion :

$\tau '':\sideset {^{\text{N}}}{_{n}}\theta ::{\sqrt {2n}}(2\mathrm {N} -1):{\frac {n-2+N\left(1+{\sqrt {2}}\right)}{\sqrt {n}}}$

$::n{\sqrt {2}}(2\mathrm {N} -1):n-2+\mathrm {N} \left(1+{\sqrt {2}}\right),$

et l’on aura :

$\tau ''>\sideset {^{\text{N}}}{_{n}}\theta ,$

ou bien

$\tau ''<\sideset {^{\text{N}}}{_{n}}\theta ,$

suivant que l’on aura l’une ou l’autre de ces deux inégalités

${\begin{aligned}n{\sqrt {2}}(2\mathrm {N} -1)>&n-2+\mathrm {N} \left(1+{\sqrt {2}}\right),\\n{\sqrt {2}}(2\mathrm {N} -1)<&n-2+\mathrm {N} \left(1+{\sqrt {2}}\right),\end{aligned}}$

lesquelles reviennent à celles-ci :

${\begin{aligned}\mathrm {N} &>{\frac {n\left(1+{\sqrt {2}}\right)-2}{2n{\sqrt {2}}-\left(1+{\sqrt {2}}\right)}}\\\mathrm {N} &<{\frac {n\left(1+{\sqrt {2}}\right)-2}{2n{\sqrt {2}}-\left(1+{\sqrt {2}}\right)}}.\end{aligned}}$

Or si l’on donne à $n$ une valeur plus grande que l’unité, c’est-à-dire, si l’écluse est composée de deux ou d’un plus grand nombre de sas, les seconds termes des inégalités précédentes deviennent des quantités fractionnaires.

D’un autre côté, quel que soit le nombre de bateaux formant le convoi, ce nombre sera toujours un nombre entier, on aura donc toujours, sauf le cas particulier de $n=\mathrm {N} =1,$

$\mathrm {N} >{\frac {n\left(1+{\sqrt {2}}\right)-2}{2n{\sqrt {2}}-\left(1+{\sqrt {2}}\right)}}.$

Et par conséquent

$\tau ''>\sideset {^{\text{N}}}{_{n}}\theta ,$