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plan parallèle à celui de ces coordonnées d’où l’on tire, toutes réductions faites :

$n=\left[2+{\frac {\mathrm {B} ^{2}}{2}}\mathrm {N} -\left({\sqrt {2}}+1\right)\right]\pm \mathrm {B} {\sqrt {{\frac {\mathrm {B} ^{2}}{4}}+2-\mathrm {N} \left(1+{\sqrt {2}}\right)}},$

laquelle appartient à une parabole ; ce qui montre qu’un convoi d’un nombre déterminé $\mathrm {N}$ de bateaux pourra franchir dans le même temps une écluse multiple dont la chute totale est donnée, soit que dans l’expression du nombre variable $n$ des sas de cette écluse, on affecte du signe $+$ ou du signe $-$ la quantité radicale qui entre dans cette expression. Ainsi l’on peut toujours satisfaire à la question par deux hypothèses différentes de distributions de chute.

(18) Supposons maintenant que la même chute d’une écluse multiple soit répartie en un nombre $n'$ de sas calculés, on aura pour le temps du passage $\sideset {^{\text{N}}}{_{n}}\theta$ d’un nombre $n$ de bateaux à travers cette écluse,

${\frac {\sideset {^{\text{N}}}{_{n}}\theta }{\mathrm {A} }}={\frac {n'-2+\mathrm {N} '\left(1+{\sqrt {2}}\right)}{\sqrt {n'}}}.$

Si l’on suppose égaux entre eux les temps $\sideset {^{\text{N}}}{_{n}}\theta$ et $\sideset {^{\text{N'}}}{_{n}}\theta$ de la traversée des deux écluses multiples de même chute totale, on aura :

${\frac {n-2+\mathrm {N} \left(1+{\sqrt {2}}\right)}{\sqrt {n}}}={\frac {n'-2+\mathrm {N} '\left(1+{\sqrt {2}}\right)}{\sqrt {n'}}},$

équation qui exprime le rapport qu’ont entre elles les quatre quantités $\mathrm {N,N} ',n,$ et $n'\,;$ on en tire

$\mathrm {N} '={\frac {\sqrt {n'}}{\sqrt {n}}}\mathrm {N} +{\frac {\left[{\sqrt {n'}}(n-2)-{\sqrt {n}}(n'-2)\right]}{{\sqrt {n}}\left(1+{\sqrt {2}}\right)}}.$

Si l’on suppose $\mathrm {N'=N} ,$ on trouve :