Maintenant on s’assurera aisément qu’en partant de cette expression de la fonction
et par une suite de réductions semblables à celles qui nous ont conduits à l’équation
du no 41, on obtiendra, au lieu de cette équation, cette autre expression de l’ordonnée
de la surface à un instant quelconque :
![{\displaystyle z'={\frac {2{\sqrt {2}}hlk}{\pi \,r}}.cos.{\frac {gt^{2}}{4r}}.\iint cos.(ks.cos.\psi )\left(1-s^{2}\right)\left(1+ms^{2}\right)s\,ds\,d\psi \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a019512ef4371daeb94f2ecc879bd14911c83638)
l’intégrale étant prise depuis
jusqu’à
et depuis
jusqu’à
et en faisant toujours
![{\displaystyle {\frac {gt^{2}l}{4r^{2}}}=k.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/453b3d77dbdbc92a7a7d2ae979b1b21b0d103878)
On en déduira les mêmes conséquences que plus haut relativement aux oscillations verticales des molécules superficielles ; et si l’on fait
![{\displaystyle \iint cos.(ks.cos.\psi )\left(1-s^{2}\right)\left(1+ms^{2}\right)s\,ds\,d\psi =\mathrm {P} ',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d736ff98c16631808003beb838a9334fe10e487d)
les valeurs de
qui répondent aux maxima, par rapport à
des amplitudes des oscillations, seront données par l’équation
![{\displaystyle 3\mathrm {P} '+2k{\frac {d\mathrm {P} '}{dk}}=0,\qquad (k)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be3fb24f63d221caeeeaea4e5c7db00ab370ef34)
qui remplacera l’équation
du no 44.
Il serait facile de ramener
à une intégrale simple ; mais on peut aussi-bien, sans cela, réduire cette quantité en série ordonnée suivant les puissances de
ce qui suffit pour déterminer par approximation les racines de l’équation