très-grand, et du même ordre que
\frac{r}{l}
et
\frac{r}{l'}.
On ne peut plus alors faire usage de l’équation (b) pour déterminer
z'\,;
mais la valeur exacte de cette ordonnée, déduite de l’équation (d), est
![{\displaystyle z'={\frac {hll'}{\pi ^{2}}}\iiiint \left(1-s^{2}\right)cos.(u\rho .cos.\omega ).cos.(t{\sqrt {gu}}).su\,du\,ds\,d\omega \,d\psi \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5332ead25508aa4a5a872cfb85160dc26cb44a4)
et il s’agit d’effectuer, s’il est possible, ces quatre intégrations relatives aux variables
et ![{\displaystyle \psi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6cc915d2bfd7c18ac9ff227c29ca47c4382890c)
En remplaçant dans l’équation (13) du no 18,
par
on a
![{\displaystyle \int cos.(u\rho .cos.\omega ).sin.(t{\sqrt {gu}}).du={\frac {gt^{2}}{2\rho ^{2}.cos^{2}.\omega }}.\int cos.{\frac {gt^{2}\left(1-v^{2}\right)}{4\rho .cos.\omega }}.dv\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/831a58fa37cd1b106c1af0a7fa1a91452fdc6235)
l’intégrale relative à
étant prise depuis
jusqu’à
On conclut de-là
![{\displaystyle \int cos.(u\rho .cos.\omega ).cos.(t{\sqrt {gu}}).u\,du}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4f53f3888ac177ba24eb5b297937b748d3ba810)
![{\displaystyle =-{\frac {d^{2}.}{dt^{2}}}\left({\frac {t^{2}}{2\rho ^{2}.cos^{2}.\omega }}.\int cos.{\frac {gt^{2}\left(1-v^{2}\right)}{4\rho .cos.\omega }}.dv\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34c1bf5fcc469feb57b10459f2c47d8e84485559)
et par conséquent
![{\displaystyle z'=-{\frac {hll}{2\pi ^{2}}}.{\frac {d^{2}.}{dt^{2}}}\iiiint \left(1-s^{2}\right).cos.{\frac {gt^{2}\left(1-v^{2}\right)}{4\rho .cos.\omega }}.{\frac {st^{2}dv\,ds\,d\omega \,d\psi }{\theta ^{2}.cos^{2}.\omega }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d6dd23686194c68981ab5107ca1eca065ea394d)
Mettant de même
à la place de
dans l’équation (17) du no 21, il vient
![{\displaystyle {\frac {gt^{2}}{\rho ^{2}.cos^{2}.\omega }}.\int cos.{\frac {gt^{2}\left(1-v^{2}\right)}{4\rho .cos.\omega }}.dv=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1dd583cb501c667c4c24c95505d7dd469731369)
![{\displaystyle {\frac {t{\sqrt {2g\pi }}}{2\rho ^{\frac {3}{2}}.cos.^{\frac {3}{2}}\omega }}\left(cos.{\frac {gt^{2}}{4\rho .cos.\omega }}+sin.{\frac {gt^{2}}{4\rho .cos.\omega }}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a09ef57f182cc089b5f5ce7d908309c4c7af7c07)
![{\displaystyle -{\frac {4}{gt^{2}}}\left(1+3.5\left({\frac {4\rho ^{2}.cos^{2}.\omega }{g^{2}t^{4}}}\right)+3.5.7.9\left({\frac {4\rho ^{2}.cos^{2}.\omega }{g^{2}t^{4}}}\right)^{2}+{\text{etc.}}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e99d8ccb787eb7a102a77301e13c5d4156351fb)