![{\displaystyle z'={\frac {2hlgt^{2}}{3\pi \,x^{2}}}.\left(\mathrm {A} _{0}-{\frac {\mathrm {A} _{2}}{2}}.\left({\frac {gt^{2}}{4x}}\right)^{2}+{\frac {\mathrm {A} _{4}}{2.3.4}}.\left({\frac {gt^{2}}{4x}}\right)^{4}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2dd56797ada22fdacddee9232be1a76e49862fc)
![{\displaystyle \left.-{\frac {\mathrm {A} _{6}}{2.3.4.5.6}}.\left({\frac {gt^{2}}{4x}}\right)^{6}+{\text{etc}}.\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d13b16507921da7ab72f0ad319903c06c47bd97)
on trouvera, comme dans le no 11,
![{\displaystyle \mathrm {A} _{2n}={\frac {4^{n}(1.2.3\ldots 2n)}{1.3.5.7\ldots 4n+1}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3ccb2c7030c784c099bf5ff9788e0b6c2fc6785)
par conséquent on aura
![{\displaystyle z'={\frac {4hl}{3\pi \,x}}\left({\frac {gt^{2}}{2x}}-{\frac {1}{1.3.5.7}}.\left({\frac {gt^{2}}{2x}}\right)^{3}+{\frac {1}{1.3.5.7.9.11}}.\left({\frac {gt^{2}}{2x}}\right)^{5}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c76f738f44bc9519a3b884cb1c9de57050e5e8b2)
![{\displaystyle \left.-{\frac {1}{1.3.5.7.9.11.13}}.\left({\frac {gt^{2}}{2x}}\right)^{7}+{\text{etc}}.\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/692e9cf4736dcb0dca2368504964827add49d400)
série que l’on déduirait aussi très-aisément des séries trouvées dans ce même numéro.
En s’en tenant à son premier terme, on aurait
![{\displaystyle z'={\frac {2hlgt^{2}}{3\pi \,x^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebc1d5acff829b4ac57affe4f18b2f931267cc00)
valeur positive, qui montre qu’à une distance sensible du lieu de l’ébranlement, le fluide commence par s’abaisser au-dessous de son niveau primitif, et que cet abaissement est d’abord proportionnel au quarré du temps, et en raison inverse du quarré de cette distance.
Si l’on égale à zéro la différentielle de
prise par rapport à
on déterminera, pour un instant donné, les points les plus élevés et les plus abaissés de la surface fluide, lesquels seront les sommets des ondes apparentes qui se propageront à cette surface. En faisant, pour abréger,