![{\displaystyle \int {\frac {a^{2}y.sin.ay}{a^{3}}}.da={\frac {\pi \,y}{2}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9efe1f396c2329bcee8368757b8324bc31c13fb)
qu’on la multiplie encore par
et qu’on intègre depuis
jusqu’à
on aura
![{\displaystyle \int {\frac {sin.a(l+x)-a(l+x).cos.a(l+x)}{a^{3}}}.da={\frac {\pi }{4}}(x+l)^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d73b633b846ee95fd4ae0ba5181c0ece11893b15)
On trouvera de même, en intégrant ces formules depuis
jusqu’à
![{\displaystyle \int {\frac {1-cos.a(l-x)}{a^{2}}}.da=\pm {\frac {\pi }{2}}(l-x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a2d14ccb1db6db6cb6396d15c7ec3fd52da0396)
![{\displaystyle \int {\frac {sin.a(l-x)-a(l-x).cos.a(l-x)}{a^{3}}}.da=\pm {\frac {\pi }{4}}(l-x)^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef8e1f755bb0ea88865e10464516d580ff1ee369)
pourvu que l’on prenne les signes supérieurs, quand
est positive, et les inférieurs, dans le cas contraire.
Je substitue les valeurs de ces quatre intégrales, dans
en faisant les réductions, il vient
![{\displaystyle z'={\frac {h}{2l^{2}}}\left[l^{2}-x^{2}\pm \left(l^{2}-x^{2}\right)\right]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4d3e09e287ee070c6403586228030e3af8510f6)
le signe supérieur ou le signe inférieur ayant lieu, suivant qu’on a
ou
on aura donc, dans le premier cas,
et dans le second,
ce qu’on se proposait effectivement de vérifier.