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(13) est bon de connaître, aussi les lois suivant lesquelles le mouvement finit dans la masse fluide, ou les valeurs des vîtesses qui ont lieu au bout d'un temps très-considérable ; pour cela nous allons chercher à développer la fonction suivant les puissances négatives de $t.$

En faisant $1-v^{2}=u,$ la valeur de $y$ du n^o 10 devient

$y={\frac {t{\sqrt {g}}}{4k}}.\int {\frac {e^{-{\frac {gt^{2}x}{4k}}}du}{\sqrt {1-u}}}\,;$

l'intégrale doit encore être prise depuis $u=0$ jusqu'à $u=1\,;$ mais nous la partagerons en deux portions : la première depuis $u=0$ jusqu'à $u=1-a,$ et la seconde depuis $u=1-a$ jusqu'à $u=1\,;$ la quantité $a$ étant une indéterminée dont nous nous réservons de disposer convenablement.

Par le procédé de l'intégration par parties, on réduit la première portion en cette double série :

${\begin{aligned}&{\frac {1}{t{\sqrt {g}}}}\left(1+{\frac {2k}{gt^{2}}}+1.3\left({\frac {2k}{gt^{2}}}\right)^{2}+1.3.5\left({\frac {2k}{gt^{2}}}\right)^{3}+1.3.5.7.\left({\frac {2k}{gt^{2}}}\right)^{4}+{\text{etc}}.\right)\\-&{\frac {1}{t{\sqrt {ga}}}}e^{-{\frac {gt^{2}(x-a)}{4k}}}\left(1+{\frac {2k}{gt^{2}a}}+1.3\left({\frac {2k}{gt^{2}a}}\right)^{2}+1.3.5\left({\frac {2k}{gt^{2}a}}\right)^{3}+{\text{etc}}.\right).\end{aligned}}$

La secondę portion sera exprimée par l'intégrale

${\frac {t{\sqrt {g}}}{4k}}e^{-{\frac {gt^{2}}{4k}}}\int e^{-{\frac {gt^{2}a}{4k}}}{\frac {da}{\sqrt {a}}},$