et comme on a
on en conclut
![{\displaystyle \mathrm {A} _{n}={\frac {2^{n}.(1.2.3\ldots n)}{1.3.5.7\ldots 2n+1}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55c9eb2d4c7989fbb780bf5b541ec1924b62c805)
d’où il résulte
![{\displaystyle y={\frac {t{\sqrt {g}}}{2k}}\left(1-{\frac {1}{1.3}}.{\frac {gt^{2}}{2k}}+{\frac {1}{1.3.5}}.\left({\frac {gt^{2}}{2k}}\right)^{2}-{\frac {1}{1.3.5.7}}.\left({\frac {gt^{2}}{2k}}\right)^{3}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a4382b61d0644a34582c6ad0889be16dfd41f61)
![{\displaystyle \left.+{\frac {1}{1.3.5.7.9}}.\left({\frac {gt^{2}}{2k}}\right)^{4}-{\text{etc}}.\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8d13db3ce821dca69d445e513a73cd100476731)
En changeant
en
on aura de même le développement de
et par suite celui de la fonction
Cette série sera d’autant plus convergente, que la variable
sera plus petite ; mais quelque petit que soit le temps, il est important d’observer que ce développement de
suivant les puissances de
sera en défaut relativement aux points de la surface fluide, compris dans l’étendue de l’ébranlement primitif. En effet on aura, par rapport à ces points,
de plus, l’abscisse
sera comprise entre les limites
de l’intégrale relative à
par conséquent, les puissances de
qui seront aux dénominateurs dans les valeurs de
et
en séries, deviendront nulles entre ces limites, et en même temps les intégrales des termes de ces séries substituées dans la valeur de
deviendront infinies. Relativement à ces points particuliers, la fonction
n’est pas susceptible de se développer suivant les puissances de
non plus que les différences partielles
et
et si l’on veut connaître, à un instant quelconque, la vîtesse horizontale ou verticale d’un de ces points, on ne pourra en déterminer la valeur numérique que par la