![{\displaystyle y={\frac {t{\sqrt {g}}}{2k}}.\int e^{-{\frac {gt^{2}\left(1-v^{2}\right)}{4k}}}dv\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6d59606ea1f95589a26719db2021ae0afd72a07)
l’intégrale étant prise depuis
jusqu’à
On aura semblablement
![{\displaystyle y'={\frac {t{\sqrt {g}}}{2k'}}.\int e^{-{\frac {gt^{2}\left(1-v^{2}\right)}{4k'}}}dv\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dca33efebe7ac755df96e0005923e4cbb789816d)
substituant ces expressions dans celle de
remettant pour
et
leurs valeurs, et faisant disparaître les imaginaires, il nous vient, toutes réductions faites,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi ={\frac {gt}{\pi }}.\iint &{\frac {f\alpha }{z^{2}+(x-\alpha )^{2}}}.e^{-{\frac {gt^{2}z\left(1-v^{2}\right)}{4\left(z^{2}+(x-\alpha )^{2}\right)}}}\left(z.cos.{\frac {gt^{2}(x-\alpha )\left(1-v^{2}\right)}{4\left(z^{2}+(x-\alpha )^{2}\right)}}\right.\\&\left.+(x-\alpha ).sin.{\frac {gt^{2}(x-\alpha )\left(1-v^{2}\right)}{4\left(z^{2}+(x-\alpha )^{2}\right)}}\right)dv\,d\alpha .\qquad \quad (11)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b19e577f50d851c4f4b474889c9fd4d92c4f84b)
(11) Les valeurs de
et
se réduisent facilement en séries ordonnées suivant les puissances de
Si l’on fait généralement
![{\displaystyle \int (1-v^{2})^{n}dv=\mathrm {A} _{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df23195a58630357025a63de0c73873877144951)
on aura
![{\displaystyle y={\frac {t{\sqrt {g}}}{2k}}\left(\mathrm {A} _{0}-{\frac {gt^{2}}{4k}}.\mathrm {A} _{1}+\left({\frac {gt^{2}}{4k}}\right)^{2}.{\frac {\mathrm {A} _{2}}{2}}-\left({\frac {gt^{2}}{4k}}\right)^{3}.{\frac {\mathrm {A} _{3}}{2.3}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a02b315235542b3f259de490f66b4f4a497fe38e)
![{\displaystyle \left.+\left({\frac {gt^{2}}{4k}}\right)^{4}.{\frac {\mathrm {A} _{4}}{2.3.4}}-{\text{etc}}.\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80e17c91953268dc5f2a02d4919d14d5f9d25713)
en intégrant par parties, et ayant égard aux limites
et
on trouve
![{\displaystyle \mathrm {A} _{n}={\frac {2n}{2n+1}}.A_{n-1}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b191c19747a5f56dae2b97f1c0c2bc0aa3ec2930)