![{\displaystyle \iint f\alpha .cos.(ax-a\alpha x).e^{-ak}da\,d\alpha =\int {\frac {kf\alpha .d\alpha }{k^{2}+(x-\alpha )^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e6468146a2dcac16cb36283e0e3b35e8ef2166c)
Or,
ne devenant jamais infinie, il est évident que cette intégrale simple, sera infiniment petite en même temps que
excepté dans l’étendue des valeurs de
qui different infiniment peu de
il suffira donc d’intégrer depuis
jusqu’à
étant une quantité positive et infiniment petite entre ces limites,
sera censée constante et égale à
par conséquent on aura
![{\displaystyle \int {\frac {kf\alpha .d\alpha }{k^{2}+(x-\alpha )^{2}}}=fx.\int {\frac {k.d\alpha }{k^{2}+(x-\alpha )^{2}}}=fx.arc\left(tang.={\frac {\alpha -x}{k}}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cea8c3c3529029bb7c98dcd7f8eabfbb2edb9e6)
intégrale qui devient, entre les limites qu’on vient d’assigner,
![{\displaystyle 2fx.arc\left(tang.={\frac {u}{k}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/302ccd86db2eb5b11fce3a3f8d53ea7c33d8cbbd)
et qui est égale à
lorsqu’on y fait
Donc enfin, comme nous l’avons annoncé, l’intégrale double ci-dessus représente la valeur de
pour chaque valeur donnée de la variable ![{\displaystyle x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d07e9f568a88785ae48006ac3c4b951020f1699a)
Si la fonction
était discontinue, qu’elle n’ait de valeurs que pour celles de
qui sont comprises entre
et
et qu’elle fût nulle pour toute valeur de
prise hors de ces limites, l’équation (9) subsisterait toujours ; mais alors l’intégrale relative à
ne devrait être prise que depuis
jusqu’à
Il faut aussi observer que, dans ce cas, l’intégrale double ne représenterait que la moitié des valeurs de
qui répondent aux termes extrêmes
et
C’est ce qu’il est aisé de voir en observant que