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nentielles^[1], comme la solution la plus générale des équations simultanées (4), (5) et (6) ; mais pour en pouvoir faire usage, lorsque la masse fluide n’a été primitivement ébranlée que dans une petite étendue, ainsi qu’il arrive dans la production des ondes, il est nécessaire d’y introduire des fonctions arbitraire sque l’on puisse supposer discontinues ; or, c’est à quoi nous allons parvenir au moyen d’un théorême général sur la transformation des fonctions, qui pourra encore être utile dans beaucoup d’autres occasions.

(5) Quelle que soit la fonction $fx,$ continue ou discontinue, pourvu qu’elle ne devienne infinie pour aucune valeur réelle de $x,$ on aura, pour toutes les valeurs réelles de cette variable,

$fx={\frac {1}{\pi }}.\iint f\alpha .cos.(ax-a\alpha ).e^{-ak}da\,d\alpha \,;\qquad$(9)

cette intégrale double étant prise depuis $\alpha =-{\frac {1}{0}}$ jusqu’à $\alpha =+{\frac {1}{0}},$ et depuis $a=0$ jusqu’à $a={\frac {1}{0}}\,;$ $\pi$ représentant le rapport de la circonférence au diamètre, et $k,$ une quantité positive qu’on devra supposer infiniment petite ou nulle après l’intégration.

En effet, entre les limites $a=0$ et $a={\frac {1}{0}},$ on a

$\int cos.(ax-a\alpha ).e^{-ak}da={\frac {k}{k^{2}+(x-\alpha )^{2}}}\,;$

d’où il suit

1. On peut voir, sur la généralité de ces sortes d’expressions, une note imprimée dans le bulletin de la Société Phylomatique, année 1817, Page 180.