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tisfaire à l’équation (4), quelle que soit la valeur de $x,$ il est aisé de voir qu’il faut supposer $a$ et $a'$ constante, et $\mathrm {T}$ seule dépendante de $t.$ Prenant, dans cette hypothèse, les valeurs de ${\frac {d\varphi }{dz}}$ et ${\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}},$ et y faisant $z=0,$ on aura, en vertu de cette équation (4),

$\sum \left[g\mathrm {T} a\left(e^{-ah}-e^{ah}\right)-{\frac {d^{2}\mathrm {T} }{dt^{2}}}\left(e^{-ah}+e^{ah}\right)\right].cos.(ax+a')=0\,;$

et à cause qu’elle doit subsister pour toutes les valeurs de $x,$ on en conclura

${\frac {d^{2}\mathrm {T} }{dt^{2}}}+c^{2}\mathrm {T} =0,$

en faisant, pour abréger,

$ga\left(e^{ah}-e^{-ah}\right)=c^{2}\left(e^{ah}+e^{-ah}\right).\qquad$(7)

On tire de-là, en intégrant

$\mathrm {T} =\mathrm {B} .sin.c\,t+\mathrm {B} '.cos.c\,t\,;$

$\mathrm {B}$ et $\mathrm {B} '$ étant les deux constantes arbitraires. Substituant cette valeur de $\mathrm {T} ,$ dans celle de $\varphi ,$ il vient

$\left.{\begin{aligned}\varphi &=\sum \mathrm {B} \left(e^{a(h-z)}+e^{-a(h-z)}\right)cos.(ax+a').sin.c\,t,\\&+\sum \mathrm {B} '\left(e^{a(h-z)}+e^{-a(h-z)}\right)cos.(ax+a').cos.c\,t\,;\end{aligned}}\right\}\quad (8)$

expression dans laquelle les sommes $\sum$ s’étendent à toutes les valeurs possibles des constantes $\mathrm {B,\,B'} ,\,a$ et $a'.$

Nous pouvons regarder cette valeur de $\varphi$ en série d’expo-