précise de son théorème ; mais M. Legendre va plus loin encore ; il démontre que, passé une certaine limite facile à assigner pour chaque ordre de polygones, tout nombre donné peut être décomposé en quatre polygones ou cinq au plus.
Ces deux limitations apportées au théorème de Fermat, nous paraissent assez importantes pour qu’on puisse dire que depuis qu’il est démontré, ce théorème n’est plus tout-à-fait le même, et que sans cesser d’être vrai selon l’énoncé plus général de l’auteur, il a reçu des modifications utiles à connaître.
Le chapitre III de ce supplément contient des méthodes nouvelles pour la résolution approchée des équations numériques.
L’une de ces méthodes exige uniquement que l’on connaisse une limite supérieure à la plus grande des racines, et cette limite se trouve par une formule extrêmement simple.
L’auteur appelle fonction omale, c’est-à-dire unie et sans irrégularité, toute fonction qui jouit de la propriété d’être toujours croissante ou décroissante, à mesure que augmente dans le sens positif depuis égal à zéro jusqu’à infini.
Il détermine ensuite la plus grande des racines, et divisant l’équation par cette racine, il l’abaisse d’un degré, et cherche de nouveau la plus grande racine de l’équation ainsi préparée. Ici la limite est connue, puisque la seconde racine est nécessairement moindre que la première. Le même procédé donnera successivement toutes les racines dans l’ordre de leurs grandeurs toujours décroissantes.
La seconde méthode consiste à partager l’équation proposée en deux fonctions omales simples. On construit les courbes de ces deux équations, et les diverses intersections de ces courbes font connaître les racines positives qu’on peut déterminer.
L’auteur, enfin, s’occupe de la recherche beaucoup plus difficile des racines imaginaires, mais l’on sent que cette dernière partie est bien moins susceptible d’extrait que les précédentes.
