pour objet la démonstration générale du théorème de Fermat, sur les nombres polygones. Cette démonstration est fondée sur les mêmes principes que celle dont la découverte récente est due à M. Cauchy ; elle en diffère cependant à quelques égards, et elle ne suppose démontré que le théorème relatif aux nombres triangulaires, qui est le premier cas du théorème général.
En rendant compte, l’année dernière, de la découverte faite par M. Cauchy, d’une démonstration inutilement cherchée jusqu’alors par tous les géomètres, nous avions exprimé quelques doutes sur la réalité ou la généralité de la démonstration que Fermat avait annoncée dans les termes les plus positifs, qu’il n’avait jamais donnée, et dont on n’a trouvé nul vestige dans ses papiers, quoique de sa nature cette démonstration dût être assez longue. Il nous paraissait donc tout-à-fait invraisemblable que Fermat n’eût jamais rien écrit sur une matière qui exigeait tant et de si longs développemens, et nous avions soupçonné que Fermat, après avoir plus mûrement examiné sa démonstration, en avait été lui-même peu satisfait, et s’était déterminé à la supprimer entièrement.
M. Legendre au contraire paraît ne douter nullement que Fermat n’ait été réellement en possession de la démonstration générale de son théorème. Il se borne à penser que cette démonstration était totalement différente de celle qu’il vient d’exposer. Fermat ne connaissait que deux cas tout au plus de la forme trinaire des nombres, sans quoi il n’eût pas restreint à la forme () une propriété qui s’étend généralement à tous les nombres impairs ; enfin, Fermat n’a point aperçu une chose qui donne à son théorème plus de précision et d’élégance, savoir que sur les () polygones de l’ordre () qui composent un nombre donné, il y en a toujours () qu’on peut supposer égaux à 0 ou à l’unité. Cette condition ajoutée par M. Cauchy, prouverait déjà que Fermat n’avait pas lui-même une idée assez
