elliptique
augmenté de
et la partie de
correspondante à ces accroissemens de
et de
sera
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\rho }{dt^{2}}}=n{\frac {d\mathrm {H} }{dh}}\Omega '\int \Omega 'dt+\mathrm {H} ^{2}{\frac {d\Omega '}{d\rho }}\iint \Omega 'dt^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79e71e27ae3a048db0ce8fb8c76bb1448b2d771d)
expression dans laquelle on fera
et l’on regardera les constantes arbitraires, comme des constantes absolues.
On déduira alors du terme précédent de
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Omega '&=-i\mathrm {G} .sin.(i\,n\,t+gt+f),\\{\frac {d\Omega '}{d\rho }}&=-i^{2}\mathrm {G} .cos.(i\,n\,t+gt+f),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dd6c3861a3bed643fdb6fc308cf89932e35d2c4)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int \Omega 'dt&={\frac {i\mathrm {G} }{in+g}}.cos.(i\,n\,t+gt+f),\\\iint \Omega 'dt^{2}&={\frac {i\mathrm {G} }{(in+g)^{2}}}.sin.(i\,n\,t+gt+f).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f35c03a1dc7fd018333caa4ef13e84c0362e140)
Il est permis de supposer réduits à un seul, tous les termes du développement de
qui renferment le même multiple de
et le même arc
d’ailleurs, pour obtenir un terme non-périodique dans la valeur de
il faut combiner ensemble les termes qui dépendent des mêmes arcs
et
afin qu’ils s’y détruisent, s’il est possible : or on a, de cette manière,
![{\displaystyle \Omega '\int \Omega 'dt={\frac {-i^{2}\mathrm {G} ^{2}}{2(in+g)}}.sin.(2i\,n\,t+2gt+2f),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16537bc797e41a12a8e8dfd8a69641e30f4a7b7d)
![{\displaystyle {\frac {d\Omega '}{d\rho }}\iint \Omega 'dt^{2}={\frac {-i^{3}\mathrm {G} ^{2}}{2(in+g)}}.sin.(2i\,n\,t+2gt+2f)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/086ece8f5bf8586e1772aecb0fa93362602135ee)
ce qui ne donne, comme on voit, dans la valeur de
que des termes périodiques dépendans du double de l’angle