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nous aurons

$(\alpha )=\sum \left[y(x)-x(y)\right],$

et par conséquent

$dl=-(\alpha )dt\,;$

expression qui a la forme demandée. Le calcul relatif à $dl'$ et $dl''$ n’est pas aussi simple ; nous allons en donner le détail dans le numéro suivant.

(17) Je représente, pour un moment, les valeurs précédentes de $x,\,y,\,z,$ par

${\begin{alignedat}{3}x&=\mathrm {A} p&&+\mathrm {B} q&&+\mathrm {C} r,\\y&=\mathrm {A} 'p&&+\mathrm {B} 'q&&+\mathrm {C} 'r,\\z&=\mathrm {A} ''p&&+\mathrm {B} ''q&&+\mathrm {C} ''r\,;\end{alignedat}}$

et j’observe que l’on aura réciproquement

${\begin{alignedat}{3}p&=\mathrm {A} x&&+\mathrm {A} 'y&&+\mathrm {A} ''z,\\q&=\mathrm {B} x&&+\mathrm {B} 'y&&+\mathrm {B} ''z,\\r&=\mathrm {C} x&&+\mathrm {C} 'y&&+\mathrm {C} ''z.\end{alignedat}}$

Cela posé, 1^o je différencie par rapport à $\beta \,;$ en faisant attention à la forme des coëfficiens de $p,\,q,\,r,$ je trouve

${\begin{alignedat}{2}{\frac {dx}{d\beta }}&=\mathrm {B} p&&-\mathrm {A} q,\\{\frac {dy}{d\beta }}&=\mathrm {B} 'p&&-\mathrm {A} 'q,\\{\frac {dz}{d\beta }}&=\mathrm {B} ''p&&-\mathrm {A} ''q,\\\end{alignedat}}$

substituant pour $p,\,q,\,r,$ leurs valeurs, on a