découvertes, et se contenta de donner son adhésion complète à la Géométrie imaginaire de Lobatschevski, dont il trouvait seulement la dénomination mal choisie.
Malgré la haute valeur de ces recherches, elles n’ont attiré jusqu’ici l’attention d’aucun géomètre, ce qui ne fût pas arrivé si Gauss les eût communiquées lui-même aux savants, ou si, du moins, il les eût prises publiquement sous son patronage. Nous ne croyons pas cependant en exagérer la portée philosophique, en disant qu’elles jettent un jour tout nouveau sur les principes fondamentaux de la géométrie, et qu’elles ouvrent une voie encore inexplorée, pouvant conduire à des découvertes inattendues. Pour ne pas sortir de la question élémentaire, on ne peut nier qu’elles ne fassent faire un progrès immense aux méthodes d’enseignement, en reléguant parmi les chimères l’espoir que nourrissent encore tant de géomètres de parvenir à démontrer l’axiome d’Euclide autrement que par l’expérience. Désormais ces tentatives devront être mises au même rang que la quadrature du cercle et le mouvement perpétuel.
Nous croyons rendre service aux auteurs de Traités classiques[1], en mettant sous leurs yeux une traduction française d’un opuscule peu connu de Lobatschevski[2], dans lequel la Géométrie imaginaire est établie en partant des premières propositions d’Euclide. Nous allons donner une idée du contenu de cet ouvrage.
Après avoir rappelé les principes connus sur lesquels il s’appuiera, l’auteur pose une définition des parallèles, plus générale que la définition ordinaire, et se réduisant à celle-ci, lorsqu’on admet l’axiome XI d’Euclide. Il démontre ensuite diverses propositions, dont une partie étaient connues de Legendre :
La somme des angles d’un triangle rectiligne ne peut surpasser deux angles droits.
S’il existe un seul triangle rectiligne dans lequel la somme des angles soit égale à deux angles droits, cette somme sera aussi égale à deux angles droits dans tous les autres triangles rectilignes.
- ↑ M. Richard Baltzer, dans la seconde édition de ses excellents Éléments de Géométrie, a, le premier, introduit ces notions exactes à la place qu’elles doivent occuper.
- ↑ Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien, von Nicolaus Lobatschevski, kaiserl. russ. wirkl. Staatsrath und ordentl. Prof. der Mathematik bei der Universität Kasan. Berlin, 1840 (in-18, 61 pages).
