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vous n’avez fait qu’indiquer, il faudra s’exprimer ainsi :

On a

$CAB:CBD={\frac {CD}{ECD}}:{\frac {CD^{\prime }}{E^{\prime }CD^{\prime }}},$

et tandis que $AC$ croît indéfiniment, $CD$ et $CD^{\prime }$ d’une part, et, d’autre part, $ECD$ et $E^{\prime }CD^{\prime }$ s’approchent continuellement de l’égalité.

Ces deux choses n’ont pas lieu dans la géométrie non-euclidienne, si l’on entend par là que les rapports géométriques de ces quantités s’approchent autant que l’on voudra de l’égalité. En effet, dans la géométrie non-euclidienne, la demi-circonférence d’un cercle de rayon $r$ a pour valeur

${\frac {1}{2}}\pi k\left(\ e^{\frac {r}{k}}-e^{-{\frac {r}{k}}}\right)$

$k$ étant une constante que l’expérience nous indique comme extrêmement grande par rapport à tout ce qui est mesurable pour nous. Dans la géométrie euclidienne, elle devient infinie.

Dans le langage figuré de la théorie de l’infini, on devrait donc dire que les circonférences de deux cercles infinis, dont la différence des rayons a une grandeur finie, diffèrent elles-mêmes d’une grandeur qui est à chacune d’elles dans un rapport fini.

Il n’y a rien ici de contradictoire, si l’homme, être fini, ne s’aventure pas à vouloir traiter quelque chose d’infini comme un objet donné et susceptible d’être embrassé par ses forces de compréhension habituelles.

Vous voyez qu’ici le débat vient toucher immédiatement au terrain de la métaphysique.

Gœttingue, 12 juillet 1831.

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